温馨提示：完全不懂微积分者慎入！！！

大家可能都听说过一个公式：，这个公式名叫欧拉公式。这个公式真奇怪：自然对数的虚数次方竟然是个实数。接下来，让我们深入了解它的证明过程。

泰勒展开式

为了证明欧拉公式，首先要了解泰勒展开是个啥。

泰勒展开就是把一个函数展开成形如的形式，也就是

那么具体如何展开呢？

为了展开成上面的形式，聪明的读者可能已经发现最重要的任务就是确定系数。（先不要管那个，后面有大用）

那么如何确定系数呢？求导，启动！我们可以试试将这个函数求导，也就是求。

若要求它的导数，则一项项求即可，那么怎么求呢？可以运用链式法则：

以举例，我们让，，则

对每一项都如此操作，可以得出：

重头戏来了！

若将带入到中，可得！这就是想要的结果！

那我们将再求一次导数会怎样呢？

按同样的套路我们可得：（阶乘，特殊的约定：。）

咱们疯狂求导可得：

（f头上长的小数字是求导的次数。）

由此可知：

求系数大业完成！

因此我们可以将展开成我们想要的形式：

帅气！

一些常见函数的泰勒展开

为了验证咱们公式的正确性，咱们试着求一下、、的泰勒展开，然后试着画一下。

首先最简单了，它的导数就是它本身。我们令，可得

然后是，它的几次导数分别是（第一个是0次导数，没求导）。同样令，可得：

按照同样的操作可得：

为了验证它们的正确性，我们把它们画一下（绿色的是“真的”，黑色的是“假的”）：

只计算一项时误差很大（切线）

计算四项：第二象限误差很大

计算21项：二、三象限误差仍大，第一象限的误差要放大才看得出来

计算30项：x=[-10,2]时基本拟合

成功！

读者也可以试着画一下和的曲线。

证明欧拉公式

我们已经知道，

此时我们令（，是虚数单位）。由于（），带入可得：

这不正是吗！

因此我们得出

正是欧拉公式。

将带入得：

正是开头的公式。

圆满成功！

实在是太美了。

继续探索

本期专栏接近尾声，有的读者可能还疑惑：到底是个啥？

为此，我们用重新计算的泰勒展开式：

我们将它与前面计算的展开式进行对比（绿：；黑：原展开式；蓝：新展开式）：

计算1项（切线）：注意相切的点的x值

计算3项：还有明显区别

计算18项：它们都是正确的泰勒展开式

因此，表示在处展开。也可以理解为以x轴上的为中心，向两边“蔓延”。

GeoGebra：强大的绘图工具

本期图片全部是使用GeoGebra的CAS计算器绘制的。GeoGebra是个强大的工具，还提供了几何等功能。详情参见geogebra.org。

GeoGebra代码：

y = 总和(((1)/(n!)) x^(n),n,0,∞)
y = 总和(((1)/(ℯ n!)) (x+1)^(n),n,0,∞)

本期使用的LaTeX公式

泰勒公式：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

三个函数的泰勒展开：

\begin{align}
\mathrm{e}^x &= \frac1{0!}+\frac1{1!}x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots \\
\sin x &= \frac1{1!}x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5-\frac1{7!}x^7+\cdots \\
\cos x &= \frac1{0!}-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\frac1{6!}x^6+\cdots \\
\end{align}

欧拉公式：

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1

往期回顾

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微积分中的换元法​

下期再见！