最近上初中了，作业多，暑假也摸鱼，没时间写，国庆有时间，终于又写了。最近研究微积分，想着再写一篇，于是就动笔了。
问题开始：四分之一圆
大家都知道圆的面积是，有一种方法是把圆看成无穷边形，算小三角形然后相加。不过今天我们要用积分的方法算，也就是把圆分成很多小长方体，再相加。我们画个函数：
图1：四分之一圆
这是一个圆的图像（只画了第一象限），众所周知，它的函数为，我们的任务就是求它的积分（面积）。为了方便，我们把它变成
，积分就写作：
但是这个积分太复杂了，我们算不过来，那么怎么办呢，这时候我们就要用到换元法。
主角登场！
换元法：变魔术
当这个积分没法算时，我们就设另一个变量（比如y，这里不是上面那个y），然后令（因为这样可以好算），这时，我们就把上头那个“可爱”的式子魔改成：
由于变成了，所以范围也从0～1变成了0～π/2，因为sin 0 = 0，sin π/2 = 1嘛。
这个时候，仔细看看里面那个，这不就是
吗！
另外，那个其实可以变成
，因为
。
于是，积分式3.0诞生：
看起来舒服多了！
可是我还是不会！
（额）
第二次换元：和差化积淘到宝
我们卡壳了，不妨看看倍角公式（和差化积中的情况）：
这里面的或许有用。为了方便，我们把
替换为
。
接下来我们开始一顿操作，不要眨眼！
见证奇迹的时刻！
最后我们得到，这是个有用的结果！
我们把它们带入得到积分式4.0：
虽然看起来更复杂了，但是更好算了！
后面一项里头是个常数（1/2），所以后面一项是（区间是0～π/2，和常数1/2相乘就是积分）。前面的东西里头的1/2可以乘到外面去。于是上面的式子就变成：
现在只剩下一个顽固的cos 2y的积分了，这怎么算呢？为此，我们要进行第二次换元。这次我们令，积分区间变成了0～π。带入得到：
由于我们把改成了
，多出来的
也乘到外面去了。
这个时候积分就很简单了。的积分是
，最后带入得到
。整个等于：
成功！
接下来验证结果。我们开头的图片是四分之一单位圆，众所周知单位圆的面积是π，四分之一就是π/4，算对了！我们的努力没有白费！
本期专栏中的图片、公式均使用生成，下面提供源码：
封面：和差化积公式、倍角公式（，align模式，白色）
\begin{align}
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta
\end{align}头图：文中推导过程（，align模式，白色）
\begin{align}
\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{1-\sin^2y}\ \mathrm{d}\sin y
&=\int_0^\frac\pi2\cos^2y\ \mathrm{d}y\\
&=\int_0^\frac\pi2\frac12\cos2y\ \mathrm{d}y\ +\int_0^\frac\pi2\frac12\mathrm{d}y\\
&=\frac\pi4+\frac14\int_0^\pi\cos z\ \mathrm{d}z\\
&=\frac\pi4\\
\end{align}图1：四分之一单位圆（编译）
\documentclass[margin=5pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (-.2,0) -- (1,0) node[below] {$1$} -- (1.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node[left] {$1$} -- (0,1.2) node[above] {$y$};
\draw[fill=gray] (0,0) -- (1,0) arc [start angle=0, end angle=90, radius=1] -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}最后，问问大家，国庆放假放几天？作业写了吗？
我猜你还一笔未动。。
