目录
常微分方程Chapter3——解的存在性与唯一性（二）
flyinto
2023年01月23日 16:01
收录于文集
共5篇

上期回顾：常微分方程Chapter3——解的存在性与唯一性（一）​

3.2 Picard定理

本节将讲解常微分方程课程中最重要的定理之一——解的存在唯一性定理（Picard定理），并简单介绍条件更加宽松的Osgood定理。

先做一些记号的解释：I%3D%5Bx_0-a%2Cx_0%2Ba%5D为%5Cmathbb%7BR%7D上的区间；K%3D%5C%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5En%7C%0A%5Cleft%20%5C%7C%5Cboldsymbol%7By%7D-%5Cboldsymbol%7By%7D_0%5Cright%5C%7C%5Cle%20b%0A%5C%7D为%5Cmathbb%7BR%7D%5En中的区域，其中%5Cleft%5C%7C%5Ccdot%5Cright%5C%7C为%5Cmathbb%7BR%7D%5En上的任意范数；D%3DI%5Ctimes%20K；函数%5Cboldsymbol%7Bf%7D%3AD%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En。

在给出Picard定理之前，需要先了解某一类函数满足的一种特殊性质——Lipschitz条件。

Lipschitz条件：对于上述函数%5Cboldsymbol%7Bf%7D，若存在实数L%3E0，使得对于任意的x%5Cin%20I以及y_1%2Cy_2%5Cin%20K，都有

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_1)-%5Cboldsymbol%7Bf%7D(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_2)%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%20L%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_1-%5Cboldsymbol%7By%7D_2%20%5Cright%5C%7C

则称%5Cboldsymbol%7Bf%7D满足关于%5Cboldsymbol%7By%7D的Lipschitz条件。

不难看出，Lipschitz条件是比连续更强的条件。此外，容易证明，对于有界闭集上的函数，只要其对于变量%5Cboldsymbol%7By%7D有连续的偏导数，则其满足Lipschitz条件。

有了上述准备工作，我们可以给出本节（乃至本章）最重要的定理。

定理3.2.1(Picard定理) 设%5Cboldsymbol%7Bf%7D%5Cin%20C(D)且在D上满足关于%5Cboldsymbol%7By%7D的Lipschitz条件。记M%3D%5Cmax_%7B(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)%5Cin%20D%7D%0A%5Cleft%5C%7C%20f(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)%20%5Cright%5C%7C，h%3D%5Cmin%5C%7Ba%2C%5Cfrac%7Bb%7D%7BM%7D%20%5C%7D，则初值问题

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cboldsymbol%7By%7D%26%26%2339%3B%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)%5C%5C%0A%5Cboldsymbol%7By%7D%26(x_0)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%5Cquad%5Cquad(*)

在区间J%3D%5Bx_0-h%2Cx_0%2Bh%5D上存在唯一解。

证明：我们将使用最经典的Picard序列法证明这一定理。

第一步，将原初值问题化为等价的积分方程

%5Cboldsymbol%7By%7D(x)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%2B%0A%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D(t))dt

第二步，构造Picard序列

%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cboldsymbol%7By%7D%26_0(x)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%5C%5C%0A%5Cboldsymbol%7By%7D%26_%7Bn%2B1%7D(x)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%2B%0A%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_n(t))dt%0A%5Cend%7Balign%7D

首先需要证明上述Picard序列是良定义的，即x%5Cin%20I%5CRightarrow%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)%5Cin%20K。

采用数学归纳法，n%3D0时显然成立，假设对于%5Cle%20n-1的所有自然数成立，则

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)-%5Cboldsymbol%7By%7D_0%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%20%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-1%7D(t))%20%5Cright%5C%7Cdt%0A%5Cle%20M%7Cx-x_0%7C%5Cle%20b

也成立。因此Picard序列的良好定义可以保证。

下面用数学归纳法证明

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)-%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-1%7D(x)%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%20%5Cfrac%7BL%5E%7Bn-1%7DM%7D%7Bn!%7D%20%7Cx-x_0%7C%5En

n%3D1时，有

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_1(x)-%5Cboldsymbol%7By%7D_0%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_0(t))%20%5Cright%5C%7Cdt%0A%5Cle%20M%7Cx-x_0%7C

成立。假设对于n-1时成立，则

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)-%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-1%7D(x)%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-1%7D(t))-%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-2%7D(t))%20%5Cright%5C%7Cdt

%5Cle%5Cint_%7Bx_0%7D%5ExL%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-1%7D(t)-%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bn-2%7D(t)%20%5Cright%5C%7Cdt%0A%5Cle%5Cint_%7Bx_0%7D%5ExL%5Ccdot%5Cfrac%7BL%5E%7Bn-2%7DM%7D%7B(n-1)!%7D%20%7Ct-x_0%7C%5E%7Bn-1%7Ddt

%3D%5Cfrac%7BL%5E%7Bn-1%7DM%7D%7Bn!%7D%20%7Cx-x_0%7C%5En%0A%5Cleft(%20%5Cle%5Cfrac%7BL%5E%7Bn-1%7DM%7D%7Bn!%7D%20h%5En%20%5Cright)

由数学归纳法知命题成立。注意到级数

%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7BL%5E%7Bn-1%7DM%7D%7Bn!%7D%20h%5En%3D%5Cfrac%7BM%7D%7BL%7D%20e%5E%7BLh%7D

收敛，由Weierstrass控制收敛定理可以得出Picard序列

%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%2B%0A%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20(%5Cboldsymbol%7By%7D_i(x)-%5Cboldsymbol%7By%7D_%7Bi-1%7D(x))

在区间J%3D%5Bx_0-h%2Cx_0%2Bh%5D上一致收敛。设其极限为%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(x)。

第三步，证明%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(x)为原初值问题的解（即积分方程的解）。在Picard序列的递推定义式两端令n%5Crightarrow%5Cinfty可得

%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(x)%3D%5Cboldsymbol%7By%7D_0%2B%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(t))dt

故%5Cphi(x)满足积分方程，是原初值问题的解。至此，初值问题解的存在性得证。

第四步，证明解的唯一性。假设%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(x)%2C%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(x)都是原初值问题的解，则有

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(x)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(x)%20%5Cright%5C%7C%5Cle%0A%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(t))-%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(t))%20%5Cright%5C%7Cdt%5Cle%0AL%5Cint_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(t)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(t)%20%5Cright%5C%7Cdt

由Gronwall不等式可知%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(x)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(x)%20%5Cright%5C%7C%5Cle0，又有%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(x)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(x)%20%5Cright%5C%7C%5Cge0，故%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_1(x)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D_2(x)%20%5Cright%5C%7C%3D0，于是唯一性得证。

综上，定理证毕。

从上面的证明过程中还可以得出以下有关误差估计的推论：

推论3.2.1 对于定理3.2.1证明中的Picard序列以及初值问题的任意解%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(x)，有

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_n(x)-%5Cboldsymbol%7B%5Cphi%7D(x)%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%20%5Cfrac%7BML%5En%7D%7B(n%2B1)!%7D%7Cx-x_0%7C%5E%7Bn%2B1%7D%20

证明：略，使用数学归纳法即可。

Picard定理的另一经典证明是使用Banach压缩映像原理，相比于Picard序列的方法，使用压缩映像原理证明书写更加简洁。证明的详细过程留作习题（doge）。

接下来看几个例子。

例3.2.1 求解初值问题%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0Ay%26%26%2339%3B%3Dy%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%5C%0Ay%26(0)%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.

这是分离变量方程，运用2.2节中的知识可解得通解

y%3D%5Cpm%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2BC%20%5Cright)%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20

此时根据给定的初值条件不能确定唯一解，例如以下两个解

y_1%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%20%2BC_1%20%5Cright)%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%5C%20x%5Cge-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DC_1%20%5C%5C%0A0%2C%5C%20x%3C-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DC_1%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%2Cy_2%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%20%2BC_2%20%5Cright)%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%5C%20x%5Cge-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DC_2%20%5C%5C%0A0%2C%5C%20x%3C-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DC_2%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%2C%5Cquad

都是原初值问题的解。事实上，该方程在x%3D0处不满足Lipschitz条件。

例3.2.2 利用Picard序列迭代的方式求解%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0Ay%26%26%2339%3B%3D1%2By%5E2%5C%5C%0Ay%26(0)%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.

由Picard序列定义可得

%5Cbegin%7Balign%7D%0Ay%26_0(x)%3D0%5C%5C%0Ay%26_1(x)%3D%5Cint_0%5Ex(1%2B0%5E2)dt%3Dx%5C%5C%0Ay%26_2(x)%3D%5Cint_0%5Ex(1%2Bt%5E2)dt%3Dx%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%20%5C%5C%0A%26%5Cdots%0A%5Cend%7Balign%7D

以此类推可得解为

y%3D%5Ctan%20x

实际上，Picard定理中的Lipschitz条件可以换为更加宽松的Osgood条件。

Osgood条件：符号定义基本同前，如果存在函数F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BR%7D，满足

①F(0)%3D0%2C%5C%20F(r)%3E0(r%3E0).

②对于任意x%5Cin%20I和%5Cboldsymbol%7By%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_2%5Cin%20K，都有

%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7Bf%7D(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_1)-%5Cboldsymbol%7Bf%7D(x%2C%5Cboldsymbol%7By%7D_2)%20%5Cright%5C%7C%0A%5Cle%20F(%5Cleft%5C%7C%20%5Cboldsymbol%7By%7D_1-%5Cboldsymbol%7By%7D_2%20%5Cright%5C%7C)

③对于任意%5Cvarepsilon%3E0，都有

%5Cint_0%5E%5Cvarepsilon%5Cfrac%7Bdr%7D%7BF(r)%7D%20%3D%2B%5Cinfty

则称函数%5Cboldsymbol%7Bf%7D满足Osgood条件。

注意到若某函数满足Lipschitz条件，则其必定满足Osgood条件（取F(r)%3DLr即可）。

基于上述条件，我们有如下定理（此处我们只给出标量函数的版本，向量值函数的版本需要更多的知识）：

定理3.2.2(Osgood定理) 符号定义同前（标量值函数版本有K%5Csubseteq%5Cmathbb%7BR%7D），若函数f满足Osgood条件，则存在实数%5Cdelta%3E0使得初值问题(*)在(x_0-%5Cdelta%2Cx_0%2B%5Cdelta)存在唯一解。

证明：存在性由下节的Peano定理保证，下面只证明唯一性。

假设初值问题(*)有两个不同解%5Cphi_1(x)%2C%5Cphi_2(x)，则存在x_1%5Cne%20x_0，使得%5Cphi_1(x_1)%5Cne%5Cphi_2(x_1)（不妨设x_1%3Ex_0%2C%5C%20%5Cphi_1(x_1)%3E%5Cphi_2(x_1)）。

则有

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cphi%26_i%26%2339%3B%3Df(x%2C%5Cphi_i(x))%5C%5C%0A%5Cphi%26_i(x_0)%3Dy_0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%2C%5C%20i%3D1%2C2

考虑集合

S%3D%5C%7B%20x%5Cin%5Bx_0%2Cx_1%5D%3A%20%5Cphi_1(x)%3D%5Cphi_2(x)%20%5C%7D

注意到x_0%5Cin%20S，又有连续性，故为非空有界闭集。

于是有最大元%5Cbar%7Bx%7D%5Cin%20S%5C%20(%5Cphi_1(%5Cbar%7Bx%7D)%3D%5Cphi_2(%5Cbar%7Bx%7D)%2C%5Cbar%7Bx%7D%3Cx_1)。

当x%5Cin(%5Cbar%7Bx%7D%2Cx_1%5D时，必定有%5Cphi_1(x)%3E%5Cphi_2(x)。（为什么？）

记r(x)%3D%5Cphi_1(x)-%5Cphi_2(x)，则r(x)在区间(%5Cbar%7Bx%7D%2Cx_1%5D恒正且

r%26%2339%3B(x)%3D%5Cphi_1%26%2339%3B(x)-%5Cphi_2%26%2339%3B(x)%3Df(x%2C%5Cphi_1(x))-f(x%2C%5Cphi_2(x))

由Osgood条件可知

r%26%2339%3B(x)%5Cle%20F(%5Cphi_1(x)-%5Cphi_2(x))%3DF(r(x))

于是

%5Cint_0%5E%7Br(x_0)%7D%5Cfrac%7Bdr%7D%7BF(r)%7D%20%0A%3D%5Cint_%5Cbar%7Bx%7D%5E%7Bx_1%7D%5Cfrac%7Br%26%2339%3B(x)dx%7D%7BF(r(x))%7D%20%0A%5Cle%5Cint_%5Cbar%7Bx%7D%5E%7Bx_1%7Ddx%3Dx_1-%5Cbar%7Bx%7D

这与Osgood条件矛盾，因此假设不成立，初值问题的解唯一。

例3.2.3 考虑初值问题

y%E2%80%99%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A0%26%2C%5C%20y%3D0%5C%5C%0Ay%26%5Cln%7Cy%7C%2C%5C%20y%5Cne0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%2C%5C%20y(x_0)%3Dy_0

当y_0%3D0时，容易证明上述该方程不满足Lipschitz条件，但满足Osgood条件，因此初值问题的解存在唯一。

例3.2.4(Müller方程) 考虑初值问题

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0Ay%26%26%2339%3B%3Df(x%2Cy)%5C%5C%0Ay%26(0)%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%0A%2C%5C%20x%5Cin%5B0%2C1%5D%2C%5C%20y%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D

其中

f(x%2Cy)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A0%26%2C%5C%20x%3D0%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5C%5C%0A2%26x%2C%5C%200%3Cx%5Cle1%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5C%5C%0A2%26x-%5Cfrac%7B4y%7D%7Bx%7D%20%2C%5C%200%3Cx%5Cle1%2C0%5Cle%20y%3Cx%5E2%5C%5C%0A-%262x%2C%5C%200%3Cx%5Cle1%2Cx%5E2%5Cle%20y%0A%5Cend%7Balign%7D%5Cright.

容易验证该函数不满足Lipschitz条件，本问题的Picard序列

y_n(x)%3D(-1)%5Enx%5E2

不收敛。但是有以下引理保证了该问题解的存在唯一性。（你能求出这个解吗？）

引理3.2.1 若初值问题(*)中的函数f关于变量y单调，则初值问题在x%5Cge%20x_0时有唯一解。

证明留作习题。（提示：参考Osgood定理的证明，使用Lagrange中值定理）

数学 笔记 微分方程
cv21374520