第二章中介绍了ODE的初等积分法，但事实上可以使用初等积分法求出解析解的微分方程少之又少。比如，Liouville曾经证明如下方程（Riccati方程）

只有在（为正整数）时才能使用初等积分法求解。因此，更多时候我们需要从定性的角度研究ODE解的存在性与唯一性，从而较为全面地认识给定微分方程的性质。

本章主要介绍常微分方程中重要的存在/唯一性定理——Picard定理和Peano定理，这两个定理描述了满足某些条件的方程在局部上的性质；之后将介绍解的延伸定理和比较定理，用于了解方程的解在大范围内的性质。

（另：第二章是微积分的东西，从这一章开始才是真正的常微分方程。——by 647老师）

3.1 准备知识

本节中将介绍之后会反复用到的两个工具——Gronwall不等式和Arzelà-Ascoli定理。

定理3.1.1(Gronwall不等式) 设，且，为常数，若对于任意有

则有

.

证明：设

由连续性及可知

即

两端同时乘以可得

两侧同时积分得

又有，两端同时乘以可得

故

证毕。

利用上述证明方法还可以证明下述推广版本的Gronwall不等式。

定理3.1.1' 设，且，若对于任意有

则有

.

在介绍下面的定理之前，先给出两个有关实函数列的定义。

一致有界：若实函数列满足存在实数，对于任意以及正整数，都有，则称实函数列在上一致有界。

等度连续：若实函数列满足对于任意，都存在，使得对于任意以及正整数，当时，总有，则称实函数列在上等度连续。

一致有界刻画了实函数列的有界性，而且这个界与自变量和下标均没有关系；等度连续则表明函数列中每个函数的连续程度差不多，不会随下标有太大的改变。

有了上述两个定义后，我们可以给出本节第二个定理（此定理在复分析及泛函分析中还有其他表述）。

定理3.1.2(Arzelà-Ascoli定理) 对于上的连续函数列，若其一致有界、等度连续，则其存在子列在上一致收敛。

证明：设为上的全体有理数。

考虑点列，由函数列一致有界可得此点列有界。由Bolzano-Weierstrass定理可知其存在收敛子列.

再考虑点列，同理可得其有收敛子列。以此类推可以得到原函数列的一系列子列，满足，且收敛。

取，其构成原函数列的一个子列，且从第项后为上述子列的子列（有点绕qaq），由上可知，函数列在区间上所有有理点均收敛。

下面证明在上一致收敛。由Cauchy准则，只需证明对于任意，都存在正整数，使得对于任意以及，都有

.

由原函数列的等度连续性可知也等度连续，因此对于上述的，存在，使得对于任意正整数，当时，总有

另一方面，注意到构成的一个开覆盖（由有理数的稠密性易得），由有界闭区间的紧性可知存在有限个有理数，使得构成区间的一个开覆盖。

根据之前的讨论可知均收敛，由Cauchy收敛原理，对于每个这样的点列，存在正整数，满足对任意，有

取，则对于任意（设）以及，都有

综上可知原定理得证。

上述证明过程中使用到很多分析学中常用的证明技巧，比如选取的“对角线法”以及“一个掰成三块”的方法，值得反复琢磨、深入理解。

事实上，Arzelà-Ascoli定理对于上到任意赋范欧式空间的函数列，以及对于有界开区间上的函数列，都有类似的结论。有兴趣的读者可以自行证明（doge）。