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二维和三维醉汉回家有根本的不同（马尔可夫链方法） | Mathemaniac

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2026-05-20 17:30:00

这期视频我讲了一个挺有意思的数学说法：“醉汉迟早能走回家，但醉鸟可能会永远迷路。”区别就在于醉汉只在二维平面随机行走，而醉鸟还能上上下下，相当于三维随机行走。我从马尔可夫链的三个核心要素讲起：状态空间、转移概率和初始分布，然后引入“常返”和“暂态”这两个概念——常返就是保证会回来，暂态就是不保证。接着我带着观众用了一个巧妙的方法：通过计算“返回次数期望”来判断状态是常返还是暂态。如果期望无限大就是常返，有限就是暂态，而期望又可以分解成每步返回概率的求和。然后我具体算了二维和三维随机行走的返回概率表达式。比如二维里要算从原点出发、偶数步后回到原点的路径数，我用了组合数公式，结果每一项大概像1/n那样增长，所以级数发散（常返）；而三维的每一项大概像1/n^(3/2)那样衰减，级数收敛（暂态）。最后我提了一句，这个二维和三维之间的临界点，其实和我之前讲斯坦因悖论时的维数临界点不是巧合——数学家Larry Brown在1971年就发现了这两个问题的联系。视频结尾还顺便庆祝了一下破10万订阅，预告了Q&A和接下来可能更新的剑桥数学相关内容。 title: Random walks in 2D and 3D are fundamentally different (Markov chains approach) url: https://www.youtube.com/watch?v=iH2kATv49rc uploader: Mathemaniac publish_timestamp: 2022-10-04 22:00:24 UTC+8 duration: 18:21 原视频描述(中文翻译): "醉汉终将找到回家的路，但醉鸟可能永远迷失。" 这句话是什么意思？在二维中，随机游走是"常返的"，即你保证能回到起点；但在三维中，随机游走是"暂态的"，即"常返"的反面。事实上，对于二维情况，这也意味着你保证能到达世界上所有的地方（唯一的限制当然是时间）。马尔可夫链也是建模现实世界的重要工具，因此我认为这是介绍它的好机会。最后，我将这一现象与Stein悖论进行比较——在这两种情况下，二维和三维之间都存在一个临界点，并且它们有相似的直观解释——这是巧合吗？视频章节： 00:00 引言 00:59 第一章：马尔可夫链 03:20 第二章：常返和暂态 10:08 第三章：回到随机游走

拿着王炸当对三发消息

整点有意思的视频自己看

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