【中字】投影 (一)：投影矩阵的性质
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Sam Levey
https://www.youtube.com/watch?v=Yc6q2w8Nt38
这个视频讲了线性代数里的正交投影，说它是一种线性变换，把向量“投射”到一个低维子空间上，有点像投了个影子。
视频里说，正交投影可以用一个矩阵 P 来表示，它有好几个重要性质。首先，视频里说，投影一次和投影多次结果一样 (P² = P)，就是投完了再投还是在原地。第二，投影矩阵是对称的 (Pᵀ = P)。视频里解释说，这反映了在点乘里，把其中一个向量投影了再点乘，结果是一样的。第三，视频提到，投影会降维，把那些跟子空间垂直的向量都投成了零向量。第四，投影矩阵的特征值只有 1 (对应已经在子空间里的向量) 或者 0 (对应在零空间里的向量)。
接着，视频讲了正交投影矩阵怎么相乘，这表示的是连续进行投影。它解释说，连续投影不总能交换顺序，但如果子空间是正交的、嵌套的，或者正交重叠的，它们就可以交换。视频里提了一个重要结论：如果两个投影矩阵可以交换，那它们的乘积也是一个投影矩阵。
视频也讨论了把投影相加 (就是把一个向量投到不同子空间上再把结果加起来)。视频里说，只有当这些子空间是正交且不重叠的时候，相加的结果才会很特别 (是另一个投影矩阵或者单位矩阵)。如果是投到那些正交且能张成整个空间的子空间上，加起来的结果就是单位矩阵。
最后，视频还提了一个性质：投影矩阵的迹等于它的秩。解释是，迹是特征值的和 (对应投影空间的维度是 1，对应零空间的是 0)。
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