内容简介
神经算子等数据驱动的PDE算法是AI for PDE的主流算法，在PDE求解的任务上取得了很好的效果，甚至用于了很多其他AI领域。但是各类不同的PDE差距巨大，在数值求解PDE领域本身就没有“泛化性”这一说。也就是说，为了训练这些AI算法，反而需要针对不同的PDE反复调用高昂的传统算法来生成训练数据集。这已经成为限制该领域发展的最大障碍。然而计算数学中NPDE主要研究的是如何更好地求解一个PDE问题，并不存在求解一系列PDE问题生成数据集这种问题。即传统计算数学领域并不存在加速生成PDE数据集的任务。
因此现有的做法，例如FNO、DeepONet等工作的数据集都是通过反复调用传统算法来生成的，没有任何优化。但事实上，这些PDE问题本身就存在很强相关性（神经算子就是在学这个）。我们设计了一种基于Krylov subspace recycling的算法，从纯计算数学的角度来获取PDE之间的相关性，从而加速了线性方程组的求解，最终加速了数据集生成。我们的算法从矩阵算法、子空间加速角度出发的，是纯加速，没有误差损失，也就是不会改变最后生成数据的结果。并且我们从理论上，分析了为什么我们的算法能加速，以及如何对数据集排序让效果更好。
从实验上，在四个不同PDE，5+种矩阵大小，5+种预处理方法，5+种精度，总计3k组实验，对比了我们算法和GMRES算法的计算开销和迭代次数，基本上都取得了很好的效果，计算速度上加速高达14倍，迭代次数上降低高达30倍。大部分的实验计算速度加速了2-5倍，迭代次数降低5-15倍。
分享嘉宾
王泓是中国科学技术大学的博士研究生，导师是王杰教授。目前主要主要研究方向是AI4PDE、AI4science。实验室主页 https://miralab.ai。
