二进制和十进制，两者谁更有效率？进而可以问，n进制谁更有效率？

第一次听到这个关于效率问题的时候，我立即想到的是：同样的数字用更少的位数的进制更有效率。但马上就想到这肯定不对呀。这显然N越大对应的位数越少。

虽然我后来搞清楚了这个问题。但是总觉得有些地方理解得不清楚，直到我想到了这个例子。假如你有一对小石子，你可以把它摆成若干堆，每一堆对应一个位来表示一个数字。那么同样数量的小石子，怎样摆能够表示最多的连续的数字。注意这里，因为需要用石子来占据一个位，所以必须用一个石子来表示0，两个石子表示1，以此类推。

不妨假设有50个石子，如果是10进制，那么可以分成5堆，每堆10个石子。表示99999。也可以分成6堆，第一堆2个，其他都是一个，表示100000。然后就只能表示到199998，虽然还可以表示更大的数字，但无法再连续了。为了下面的讨论简单一点，我们规定，100000到199998也视为表示不完整，不计入统计。这样50个石子恰好用十进制表示10^5 = 100000个数字。而用5进制可以表示5^10 = 9765625个数字，而2进制可以表示2^25 = 33554432。看起来n进制的n越小，能表示的数就越多，效率越高。

但用3进制一试，3^16 = 43046721。比2进制的效率还高。其他的n进制就不算了，它们都没有3进制高。

那么我们可不可以用数学的方法来证明一下呢？从上面的计算可以看出来，对于a个石子n进制的情况，可以表示n^(a/n)个数字(其实这儿需要取个整，不过不取整不影响结论)。这就是n的一个函数，要求这个函数的最大值，求个导就可以了。具体的计算就省了，得到的结果n并不是等于3，而是2.7182818...，也就是e。因为3最接近e，所以效率最高。好像问题已经搞清楚了，但这个e进制是什么东西呢？在没想到小石子的例子前，我也没明白这个问题。直到想到小石子的例子时，我才突然想到n进制也可以是小数。

还是看50个小石子的情况，在3进制下，我们把小石子分成16堆，每堆可以有1到3个石子。这样最多可以表示3^16 = 43046721个数。但我们可以把石子分成17堆，其中15堆用1到3个石子表示0,1,2。剩下两堆用1到2个石子表示0,1。这样一共可以表示3^15 * 2^2 = 57395628个石子。如果把这种方法看成是n = (3*15 + 2*2)/17 = 2.82352...进制。那么它更接近e，而效率更高。在这种混合进制中，当12位3进制，7位2制的时候效率最高2^7+3^12=68024448。但按(12*3 + 7*2)/19 = 2.631578...来算，这并不是最接近e的数。但也仅次于13位3进制，5位2进制的情况。这可能是因为小石子的总数比较小，容易受其他因素的影响。