在数学中，有一条非常漂亮的曲线被称为摆线（平摆线），这条曲线是一个圆沿一条直线进行无滑动滚动时，圆周上一定点形成的轨迹。
摆线的参数方程为（这里取初始点为原点）
其中r是滚动圆的半径，是该点转过的角度（该旋转角采用弧度表达），不难看出，当
为2
的倍数时，y=0，也就是说，摆线图像所对应的函数是以2
为周期的一个周期函数。当在滚动圆上的这个定点的横坐标由
变到
（n为整数）时，这个点就描绘出了摆线的一支，我们通常称为摆线的一拱。
摆线有以下四个比较重要的性质：
摆线一拱的长度为旋转圆半径的8倍，与无关
摆线一拱与x轴围成的面积，是滚动圆面积的3倍
摆线是等时曲线
摆线是最速降线
前两个性质比较好证明（一点点定积分知识就够了），这里我们尝试去证明第三个性质，而第四个性质的证明较为麻烦（甚至发展出了变分法），在本篇暂且不给出证明（以后我会围绕这个最速降线问题再单独写一篇文章）。
（进入正题）
命题：
如果我们将摆线倒置（纵坐标变为原来纵坐标的相反数），在这个倒置的摆线上任取一点，记该点处的旋转角为
，从该点由静止释放一小球，使其沿摆线运动到这一拱的最低点，不计小球受到的阻力（小球只受重力与弹力），试求小球运动时间的表达式。
分析：
首先我们要建立平面直角坐标系，画出倒置的摆线，如图所示
这里展示倒置摆线的一拱，图中的那个圆是滚动圆
我们就以[0，]这一拱展开分析，很容易看出，该拱的最低点（终点）的横坐标是
，纵坐标是-2r。此时旋转角
（用弧度去表达）。
我们知道，小球沿摆线运动时，既不做匀速直线运动，也不做匀加速直线运动，无法直接利用公式。那么，我们就只能将小球运动的路径分割成无穷多个部分，解析出每一部分的小球的运动状态和运动时间，再进行求和，用数学语言去表达就是：，那么这个dt可以怎么表示呢？我们知道，瞬时速度的定义式为
，在本例中，dr就是一小段弧的长度ds，所以我们就有
，其中的ds是很好计算的，我们可以求出x对
，y对
的导数，进而求出微分，再根据弧长微分公式
（就是勾股定理），求出ds，计算过程如下：
又根据三角函数的半角公式，我们知道
所以。
下一步就应该计算v了，我们先在小球的路径上任取长度为ds的一段弧。我们知道，当弧上两个点的距离趋近于无限小的时候，这段弧的长度趋近于弦长，所以小球滚动时这一小段弧可以看成一个小斜面。由于在一个斜面上，小球受到的支持力方向和大小都不变，所以小球受到的合力方向和大小也不变，其加速度也不变，小球做匀加速直线运动（由于时间极短，也可看作是匀速直线运动），接下来，我们分析其受力，如图所示：
这个支持力的大小一定等于，合力大小为
（如果支持力的大小不是
，则合力方向发生变化，物体运动时将挤压斜面或有远离斜面的趋势，将改变支持力的大小，与基础条件支持力不变相矛盾）
小球的加速度为（为定值），所以小球的速度为
，记为v。位移为
，所以小球在铅直方向上位移为
，记此位移为h，可以发现，
，所以
。（此结果也可以用机械能守恒定律得出，
）
这里要特别说明一下，由于这个位移公式只在初速度为0的情况下成立（相当于），所以这里的h应该从初始点（
点）开始算。现在我们取定一个小区间[y,y+dy]，在这个小区间内，
，所以v的表达式为：
那么时间
所以总时间，最后积得的时间表达式为
，即为
。由于
，所以原式等于
，与初始旋转角
无关。
所以T的取值与起点无关，那么我们就得到
从摆线上任意一点释放小球使其沿摆线运动到最低点，不计阻力，运动时间始终为定值
（等时性）。
