（长文预警）（干货预警）（手机App排版有问题，建议在网页端阅读）

最近在知乎上看到一篇文章([1]),挺有意思。这篇文章讨论了一个很诡异的悖论，称为“诺顿穹顶”(Norton's dome)，简称the dome。该悖论于本世纪初提出，二十年来，暂时还没有一个比较有说服力的解答。

这一悖论试图指出，由牛顿创立、十七世纪以后的诸物理学家所完善的经典力学理论体系，本身具有不完备性。这种不完备性并不是与实验结果相冲突（从而将经典力学的适用范围作了宏观低速的限制），而是理论上的、数学上的不完备性。这一悖论同时还对决定论的原则、数学描述与物理事实的关系、牛顿第一定律的本质、时间平移、反演对称性的原则进行了深入思考。在往下阅读之前，建议先阅读上述文章[1]。

嗯我知道...一定有人懒得去读...那么在此简要概括一下其中的观点。

诺顿穹顶

我们想象这样一个穹顶（就是一个倒扣的碗），它可以视为由一个平面曲线绕着自身对称轴旋转一周所形成（因此，在后文的讨论中，始终将穹顶简化为平面曲线）。

想象一个小球——这里可以视为质点——放在穹顶的顶点上。如果它放上去的时候是静止的，那么它将永远呆在那里。当然，这时它处于不稳定平衡状态，因为任何一个微小的扰动（放的时候略微偏离顶点，或者不小心给了它一个任意小的初速度，等等），都会使其掉下去。

掉下去后，它将遵循牛顿第二定律，进行运动。如果可能，它甚至可以飞离这个穹顶。

实际情况下，微扰是不可避免的，它一定会掉下去。

但是，我们这里必须重申，在理想的情形下，只要给定放上去时，小球的初始条件（位置是在顶点处，初速度为零），我们就可以精确地预知小球未来的运动状态（保持静止）。这里蕴含了经典力学中的重要思想，即决定性原理。

图1-1 朗道《力学》中关于决定论的表述，出自第一节

图1-2 阿诺尔德《经典力学的数学方法》第一节

（图片源自文献[2]）

为了更加清楚地认识这一思想，我们来看一道简单的练习题。

考虑在xOy平面中的射线

将其绕y轴旋转一周，形成一个圆锥形的穹顶。

将一个质点，在t=0时刻，置于处，初速度为。求出它接下来的运动方程。

解：运用牛顿第二定律。质点受到两个力的作用：一个是重力，另一个是支持力。支持力保证质点受到约束（在穹顶上运动，当然，不能避免其飞出去，但在这题中显然不会发生这种事）。考虑重力在小球运动方向上的分量

根据牛顿第二定律，有

其中s表示弧长。上述微分方程可以视为小球的运动微分方程。只需将其解出，代入初始条件，就可以得到运动方程。具体步骤可以参阅《高等数学》上册。此外，可以证明，上述微分方程的通解就是它的全部的解。

以上的步骤运用了牛顿第二定律以及力、加速度等物理量的矢量性质，得到了运动微分方程。这个微分方程是二阶的，而我们的初始条件也有两组（位置、速度即位置对时间的导数）。

因此，得到的特解是唯一的。

这正是决定性原理的体现。

决定性原理虽然是经验原理，但它始终是物理学家奉行的一条准则（再说一遍，经典力学范畴内）。只要给定初始条件，everything is known。

对于穹顶的问题，也理应如此……

吗？

让我们来看这样的一个穹顶。它的形状由两个量描述：质点自顶点滑动过程中下落的高度h，与测地线长度r。可以理解为，一条xOy平面上的曲线，由其纵坐标y与从原点出发的曲线段的长度s满足的方程y=y(s)确定。（看起来有点怪，但没有原则上的问题。可以用微分几何手段将其转换为笛卡尔坐标系下的方程）

图1-3 源自Norton的网页，后同

这个曲面满足方程

（不要在意量纲之类的小细节）

它的形状是这样的：

图1-4 注：只需考虑顶点附近

接下来推导其运动微分方程。这里直接摘录文献[1]中的过程，可以不看：

这个小球在滑落过程中，只受到重力的作用。那么，我们很容易得到，重力在沿着曲面轨迹的方向上的分量就是： 所以，我们可以根据牛顿第二定律列出动力学方程 我们再加上初始条件，在0时刻小球静止地呆在穹顶，就很容易解出这个微分方程。很显然，r=0是这个方程的一个解。 但是，请注意这个方程在r=0的时候其实并不满足Lipschitz连续性条件，也就是说，它的解的唯一性并不被保证。也就是说，它可能存在多解。事实上，的确存在另外的解，例如说： 我们可以对它做出验证，确实如此。

于是，这个微分方程对应两类解。第一类解，r(t)=0，对应了前面所说：小球永远待在穹顶的顶点上。

而第二类解就显得非常诡异了。在这类解里面，出现了一个很随意的参数T。这个T是可以任意指定的。也就是说，这个小球很随意地在顶部呆了一段时间（T），然后又毫无理由地滑落了。从数学上讲，这个T是完全任意的，所以，小球似乎完全任意地停了一会儿，然后就决定不再继续呆着了。至于它为何会突然滑落？没有任何突发的外力让它这么做，所以它的这个行为似乎是完全没有原因的。 那么理所当然，它似乎也就是完全非决定论的。

What happened???

把图当分割线的UP是屑

写在讨论之前

看上面这个过程时，我被其简洁性所震惊了。这个问题感觉上就是一道简单的物理题，物理竞赛生都会做，却产生了如此诡异的矛盾。

理论数学家可能对这个问题不屑一顾：本质上就是那个微分方程有奇解，从而得出了奇怪的结果，舍掉就行了。

但是问题是：“奇怪的结果”也是结果，这个结果对应着什么？

而且，既然产生了这种结果，是否说明，我们给出的穹顶、初始条件等等，是有问题的？

或者说，我们对物理模型进行数学建模的手段出了问题？

还是说，经典力学，本身就是不完备的，甚至是非决定论的？

而且，对于我们从已知条件中得到的方程，我们求出了方程的所有解，直接舍掉看起来不合理的解，这样做对吗？

我们可能在初中的时候就见过舍根的情况。比如说，正方形的面积是1，我们设边长是x，得到x的平方等于1，解得x=±1，然后舍掉负根。

问题是，为什么要舍掉负的根？

大家仔细想一想，上面的过程是不是省略了一步？“由题意得，x>0”，这是舍去根的一个判断条件，但我没有把它单列出来。

但这样做对吗？

站在数学建模的角度，面对一个实际问题，进行数学建模时，我们应该怎么做？

首先，将这个实际问题转换为数学问题。

然后，凭借纯粹的逻辑推理，解决这个数学问题。

最后，将其转换回实际问题的结论。

在解决数学问题中，我们应该完全忘记实际问题的情境，脑子里面只剩下：这个数学问题，条件是什么，应该怎么解。

站在解决数学问题的角度，一切的方程、判断条件，等等，它们的地位应该是相同的——都是问题的已知条件。如果不把x>0当做已知条件，方程就会出现两个解。然后将其翻译成实际问题时，我们应该说，“因为 x 表示 正方形的边长，x=±1，所以题目所求正方形边长为1或-1。”

这显然是荒谬的；为了弥补这种事，初中时，我们学的是：在转换回实际问题时，还要“验根”，然后“舍去不合理的解”，画蛇添足，狗尾续貂。

这里想要强调的是，数学建模的三个步骤，容不下“舍去不合理的解”这样的操作。这种行为应该在第二步里面完成。

让我们再看回诺顿穹顶问题。我们在将物理问题转换为数学问题时，有没有遗漏什么方程或者已知条件？

但上面的过程是物理推导的常规的解法。如果这样推导遗漏了什么隐含条件，那就是经典力学的处理问题的方法出了疏漏。

可能有人已经发现了隐含条件。先别急着说出来。我们后面再进行讨论。

让我们回顾一下前面的推导（讲真，这个推导总觉得好奇怪）。首先，这个穹顶的形状，是通过弧长与高度之间的关系给出的。看起来还是很奇怪。这里引用[5]中给出的直角坐标下的方程，以及整条曲线的图像。

图2-1 这是第四象限的半支

图2-2 自己画的，整条曲线，其中取g=10

注意，这条曲线并不是无限长的。因为在表达式中就隐含了一个条件：当r较大时，高度h增长得比r还快，但这是不可能的。曲线必有一个终点。这在上面的图像上也可以看出来（终点处切线是竖直的）。既然是这样的弧线，质点可能飞出。所以，我们只需考虑顶点附近的一小段。

我们再看回图1-4。有没有觉得顶点附近的弧线有点奇怪？

不难发现，取x=x(r),y=y(r)，则在顶点处，我们计算其曲率：

于是

从而

诶？曲率在顶点发散了？

也就是说，顶点处曲率半径为零。在曲线上取三个点，如果它们非常靠近顶点，那么它们所确定的圆，半径是一个无穷小。

这再次说明，这条曲线有大问题。在顶点处，曲线光滑（？），但是奇异。

嗯……

好像没有什么矛盾啊。牛顿定律在这里不适用或者用不了吗？这点会在后面提及。

从穹顶的形状上好像挑不到更多的刺儿了。接下来，把目光转向推导过程。

仔细检查一下，过程有没有问题？

有人提出，我们的动力学微分方程是在穹顶的表面上列出来的，无法适用于静止于穹顶的情况。如果经典力学连静力学和动力学都没法协调，那就不必研究物理了——没有普适性、理论极度不完备。

好像没有什么问题啊。

但是，我们得到的运动微分方程，按照一般的方法，应该没有办法得到第二类解。

……

所以呢？

好像也没法说明什么。

再把目光转向第二类解。容易发现，第二类解处处具有直到三阶导数；但是四阶导数在t=T处发生了阶跃（由0变为）。给人的感觉是，这好像是两种解硬拼凑起来的。（顺带一提，[3]中把位置对时间的四阶导数称为snap，目前还没有想好怎么翻译成中文）

但是……牛顿三定律中，没有直接关于描述位置对时间的二阶以上导数的定律啊，也没有要求二阶以上导数必须连续。（牛顿第一定律可能除外，后面再说）

经过以上思考，这个问题已经呈现出若干奇怪之处。让我们来看一些观点。以下观点将以其有道理的程度进行排列。

一些失败的尝试

参考文献中有一篇是一位集佬（国家集训队大佬）的文章。该文章认为，一切奇解都是非物理解。这类奇解其实挺常见的。就如简谐振动的机械能守恒方程都具有一个奇解。事实上，奇解能够成为物理解的情况呢……反正他没见过，我也没见过。

这个想法让我想起了一个推断：人类至今为止发现的生物都是碳基生物，所以推断，宇宙中的一切智慧文明都是碳基文明。这个推断非常大胆，很容易被推翻，但至今没有被推翻。人类做了各种研究，试图从理论上或者实验中或者观察到硅基生物或者其他什么超意识、超文明之类的存在，并且在这个研究中得到了一系列重要成果，甚至开创了天体物理学、生物学、社会学、文学等学科的一批新兴研究领域。这些，跟上面的观点，是不是有点像呢？

还有人认为（注意到），在T时刻对这个质点进行一个微扰，然后令微扰趋于零，就可以得到第二类解。我没有进行验证，不过我相信这应该是正确的，因为这种微扰满足微分方程，却不满足第一类解。

算了，还是验证一下吧。设所谓的微扰是位置的微扰（我不敢设速度的微扰，为什么？交给读者考量），此时，质点位置r由0变为。我们看回那个动力学方程

用常规解法，改写等号左边，然后两边积分：

微扰，就是说机械能的变化忽略不计（动能当然不变，势能变化mgdh，但别忘了dh/dr=0），所以上面的直接扔掉。

令趋于零，最终化简得

可见微扰取极限的确是方程的第二类解。

首先，这个解法肯定是错误的，因为诺顿穹顶的实质，是对经典力学中不确定因素的思考。原来的问题中，完全没有『扰动』这样的字眼。

但是这并不妨碍我们换个角度来审视这个问题。所谓的微扰取极限，其实可以理解为微扰中的是t的高阶无穷小。此时的势能变小了，但势能变化量也是时间的高阶无穷小。

因此，如果质点受到的扰动比普通的微扰还要小（不妨叫做“微扰的微扰”或者“n阶微扰”？），看起来质点的位置、速度都没有变化，但是冥冥之中，动力学微分方程的解就从第一类解变成了第二类解。这也说明，从（实际或思想）实验上无法区分质点究竟是因为受到扰动而滑落还是满足第二类解而自发滑落。

这再次证明，这完全是一个对经典力学完备性的诘难。

有人可能已经注意到了，在穹顶的顶点处，一些事情发生了变化。我们知道，设曲率半径为R，则质点的加速度可以分解为沿速度方向的切向加速度和垂直于速度、指向轨迹凹处的法向加速度。类比圆周运动，后者大小可以用如下公式计算：

但是在穹顶，曲率发散，曲率半径为零。这说明，若质点能够完全保持在穹顶上运动而不飞出，在穹顶这点，向心加速度没有好的定义。向心加速度是由重力提供的，如果出现这种情况，质点一定不会留在曲面上。

除非速度也是零。

那么，质点就不能动起来。

这个想法来自于一个和著名瑞士生物学家重名的网友@Wilson·Edwards。它非常巧妙地利用了这个穹顶的一些奇怪的数学性质，相当有创意。

但是，让我们再深入地想一想，这能说明什么？这说明，如果速度不是零，质点就不能留在穹顶上。如果速度是零，还需要计算一下加速度在这点的极限。

回顾一下第二类解。我们一开始就提到过，第二类解也满足速度为零的初始条件。只要动力学微分方程满足，我们就无法找到矛盾。事实上，这个观点是不能成立的。如果我们计算一下第二类解在T向心加速度，就会发现奇怪的结果[3]：

上述极限的左极限是零（因为t<T时，v恒等于0），至于右极限，注意到

以及

这里o(n)表示n阶无穷小。

于是右极限也为零。综上，向心加速度为零。

这就说明，加速度的定义没有问题。原来的那个动力学微分方程仍然成立。这个穹顶的形状有些诡异，但不能成为牛顿定律失效的理由。如果是锥顶或者其他更加奇怪的穹顶，可能会导致理想模型的失效，但至少这里不会出现这种情况。

为了说明这一点，从[1]中搬运一下此系统的相图：

虽然没看懂，再次感谢@贾明子

这个图中，灰色覆盖的区域为小球“起飞”的区域，也就是说它因为速度太快而导致无法固定在曲面上。这个区域中，上述的动力学方程不再满足。图中橙色的加粗曲线就对应着小球在顶点时速度恰好为零的情形。其余的曲线代表着更低的能量 —— 也就是说，如果我们从底下向上滚动小球，它的动能不足以让它们爬上顶点。而橙色加粗曲线则代表着 —— 如果我们把过程反演 —— 它刚好能够达到顶点的情形。

还是没有发现问题。这时可能有人在想，难道第二类解是存在的？

于是，牛顿的棺材板真的按不住了，“第一定律说了多少次了，忘了？！”

让我们回顾一下牛顿第一定律的表述：

莱克斯一世：除非有四个印象深刻的人想改变形状，否则身体将继续保持静止或均匀移动。——by Baidu fanyi

很好，我们把牛顿的棺材板按了回去（

根据牛顿第一定律，一个物体（在单个方向）不受力或受平衡力时，始终保持静止或匀速直线运动。因此，在穹顶上静止的质点将一直保持静止。这个过程是这样的：

据此我们看到，前面的动力学微分方程中并没有考虑到牛一。我们的方程单纯地是由牛顿第二定律列出的，因为我们其实默认了一点：牛二得到的信息，包含了牛一。

当然这是不正确的。我们常说，牛顿第一定律定义了惯性，（差不多）也定义了质量。在此基础上才有了牛二。但既然已经定义好了，我们列动力学微分方程时，才会选择忽略牛一。其实还有一个更深层次的原因。根据牛一，如果一个质点的合力为零，则速度随时间的变化率为零，而根据牛二也可以得到这一点。

所以我们一般认为，列动力学方程时，不考虑牛一。

但这样其实是不对的。牛一的表达式应该是：

而不是：

看起来这两个式子没什么区别。但从势函数的观点来看，区别还是有的（可以参考高数教材中对于求函数极值的描述）。就这个问题而论，牛一告诉我们，穹顶的小球必须始终静止，而不是多少阶导数等于零。我们列动力学方程时忘记考虑它了。这是很多人的观点。

这个观点看起来很有说服力，我把它列到最后一个失败的尝试中，自然也是有原因的。

那么为什么认为这个观点没有触及问题的本质呢？

下一篇文章可能会探讨这个观点，并介绍一些我认为比较靠谱的尝试以及我的想法。

欢迎在评论区讨论。

参考文献

[1]有哪些你觉得特别有意思的物理学悖论？ - 贾明子的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/397610640/answer/2617547404

[2]关于「诺顿穹顶」悖论 - 东方既白的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/552072272

[3]（对不起诺顿）Newtonian physics IS deterministic (sorry Norton) – Reflections (gruffdavies.com)

《对不起诺顿》写得非常好，直击问题本质（虽然貌似并没有解决问题）

[4]【诺顿穹顶“悖论”】距离幂次排斥势下质点的运动 - NPSnps的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/552511468

[5][辟谣]关于诺顿穹顶：你们的牛一不灵了(大概是完结版) - team109的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/567844914 （膜拜集佬）