这一期更新一系列立体几何定理。三垂直定理及其逆定理、三正弦定理、三余弦定理、最大角定理、最小角定理。

1.三垂线定理及其逆定理

首先我们要介绍三垂线定理。

平面α内的一条直线l，如果和这个平面的一条斜线BC的射影AB垂直，那么它也就和这条斜线垂直。

我们可以画图如下。其中左上角那个点是C点。

下面我们来尝试着证明三垂线定理。

∵AC⊥平面α，l⊂平面α

∴AC⊥l

∵BC⊥l，BC∩AC=C

∴l⊥平面ABC

∴l⊥AB

三垂线定理得证。

这个定理我们可以简记为垂斜线就垂射影。

那么它的逆定理就是垂射影就垂斜线。

下面我们来证明。

∵AC⊥平面α，l⊂平面α

∴AC⊥l

∵AB⊥l，AB∩AC=A

∴l⊥平面ABC

∴l⊥BC

三垂线定理逆定理得证。

三垂线定理最大的应用就是作二面角的平面角。只需按照三部曲即可找到锐二面角的平面角。

作:作一个面的垂线

作:过垂足作交线的垂线

连:连接成直角三角形。

而要做面的垂线就要先找面的垂面然后用面面垂直推线面垂直。

这里只讲了二面角平面角寻找方法，证明在下一个定理给出。

2.三正弦定理

接着从三正弦定理开始介绍。

已知二面角M-AB-N的平面角度数为α，在平面ABM上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面ABN所成的角为γ，则sinγ=sinαsinβ

首先我们要用作作连找二面角平面角。

作CO⊥平面α，过O作OB⊥AB，连接BC。

根据三垂线定理，二面角的棱AB垂直于射影BO，于是它也垂直于斜线BC。

于是∠CBO就是二面角M-AB-N的平面角。

根据定义，∠CAO为AC与平面α所成的线面角。线面角就是斜线和射影所成的角。

sinγ=CO/AC，sinα=CO/BC，sinβ=BC/AC

右边两个式子一乘刚好的左边的式子于是三正弦定理得证。

接下来，为了方便记忆我们对三个角取了名字。

α是二面角，β是棱线角，γ是线面角。

3.最大角定理

三正弦定理最大的用处在于它可以证明最大角定理。

根据三正弦定理，sinγ=sinαsinβ

而sinβ≤1

于是sinγ≤sinα

在我们一开始的作图中我们就限制了α，β，γ是锐角，于是我们得到

γ≤α

在这个模型中，我可以让A在二面角棱上随便动，C在半平面ABM上随便动，此时AC与半平面ABN成的线面角最大值是二面角。

我们简记为线面角的最大角是二面角。

4.三余弦定理

接下来就轻车熟路了。

设A为平面α上一点，过A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB

也就是cosθ=cosθ1cosθ2

其中θ叫做线线角，θ1叫做线面角，θ2叫做射影角。

我们过B作BC⊥AC。

cosθ=AC/AO，cosθ2=AC/AB，cosθ1=AB/AO。

右边两个式子一乘刚好就是左边的式子，于是三余弦定理得证。

5.最小角定理

似曾相识燕归来。

三余弦定理告诉我们cosθ=cosθ1cosθ2

而cosθ2≤1

于是cosθ≤cosθ1

作图限制了三个角都是锐角，于是θ≥θ1

在这个模型当中我可以让C点在平面α内除了A点的地方随便动或者让AC绕A随便怎么旋转，但AC与AO所成的最小角就是线面角。

我们简记为线线角的最小角是线面角。

6.意义

最大角定理和最小角定理可以用于解决三类角比较问题但它同时也是多三类角定义合理性的定性解释。

最小角定理从定性角度说明了线面角定义的合理性：斜线和在平面内的射影所成角是斜线和平面内所有直线所成角的最小角，具有唯一性，所以可以用这个角刻画直线与平面的倾斜程度。

最大角定理从定性角度说明二面角定义的合理性：平面内的所有直线和另一平面所成角有最大角，具有唯一性，所以可以用这个角刻画两个平面的倾斜程度。