今天的故事要从零点存在定理谈起。

1.零点存在定理

这个定理各位在高一的时候便可以接触到。

零点存在定理在高等数学中也出现过，

还有它的升级版——介值定理

这些定理的证明，不是我想介绍的。

我想介绍的是，解决在使用零点存在定理时的取点问题的方法。

比如说

要利用零点存在证明y=lnx+sinx在（0，+∞）时有零点

我们知道，函数在x→0时，y→-∞，在x→+∞时，y→+∞

也就是说，在x=0附近必然存在一个x0使得y＜0，在x很大很大很大的时候，y＞0

而初等函数在定义域内连续，因此函数在（0，+∞）有零点。

但是，我们这里用到了函数极限，这并不能直接出现在高中生的答卷中。

作为高中生，只能寻找确定的两个实数x1，x2，使得其对应的函数值异号来证明结论。

在这道题中x1和x2是很容易猜到的，可是其他问题呢？我们需要一个相对通用的杀手锏来解决这类问题才行。

这个杀手锏就是内点效应。

2.内点效应

下面我们以刚刚那个简单的问题为例介绍内点效应。

当然，找x1使得y＜0和找x2使得y＞0是一样的，我就只谈x1的找法了。

使用内点效应的第一步就是观察不等式

如果说我们能解出这个不等式那最好，只需要从其解集中随便选一个数字即可，但是这题好像很难解吧。

于是就有人想到，我虽然解不了解集但是我只要能把解集的子集找到不也可以吗？

然后就有人这样构造一个实数k使得，

你看，根据不等式的传递性，lnx＜-sinx

也就是lnx+sinx＜0

如果我们能把这个k找到，解出左右两个不等式的解集，再取并集，从这个集合中随便取一个数不就行了？

这里我其实跳步了，用内点效应的第二步是把不等式变形，然后再插入实数k

变形时我们要变成这样

为什么呢？因为变成这样时lnx＜k可解，k＜-sinx也可解。

然后插入k

接着我们要解k了，这个解k就很有讲究了。

通过1.零点存在定理中的讨论我们发现，在x=0附近必然存在一个x0使得y＜0

于是在找k时我们要让k两边的函数的自变量趋于0

此时lnx→-∞，-sinx→0

如果你看不出-sinx的极限也没关系，反正这个函数有界。

-sinx≥-1

如果你看出了极限，那么你的k就从（-∞，0）随便取。

如果你没看出极限，而看到了有界，那么你的k就从（-∞，-1]取

凡是在导数大题遇到三角函数，最好还是用有界性放缩，因此我们取k=-1

得到

这时再去解不等式，

左边的不等式解集是（0，e⁻¹），右边不等式解集是R

二者的并集就是（0，e⁻¹）

因此你可以在（0，e⁻¹）中随便选一个数，这个数就是你要的x1。

不过我们一般都是取x=e⁻¹的，因为它好算。

问题就来了，不等式解集不包含x=e⁻¹，为什么还能取它？

答案是因为x=e⁻¹时，两个不等式并不能同时取等（否则你就直接找到零点了，那更好）。

我们不妨试试看x=e⁻¹这个解

你看，真的可以吧。

类似地，你能用内点效应找到x2。