这一期，我们将要介绍布尔查诺定理的内容和证明.

1.布尔查诺定理的内容

       布尔查诺()(1781~1848)，一个受经院哲学教育的天主教牧师，是最早把严格的近代概念引入数学分析中的人之一。他的重要著作“无穷的悖论”在1850年出版。从这里人们首次认识到，许多有关连续函数的表面上很明显的命题，如果想得到普遍利用，就必须加以证明，而且是能够证明的。下面关于一元连续函数的定理是一个例子。

        如果一元连续函数在连续的闭区间上，对于的某个值它是正的，而对另一个值它是负的，那么必定有的某个中间值使函数值为0.这样，若当由时是连续的，且，那么在之间存在一个的一个值，满足，使得.

        布尔查诺定理完全符合连续曲线的直观观念，即如果一条连续曲线由x轴下面的一个点到x轴上面的一个点，那么这条连续曲线必然在某一处穿过了x轴。对于不连续函数这就不一定正确，因为它可以从小于0的情况一下子变成大于0的情况，从而避开了与x轴形成交点的必然性.

布尔查诺定理成立的例子

2. 布尔查诺定理的证明

        这里将给出这个定理的严格证明（我们当然也可以像高斯和另外一些伟大的数学家那样，不假思索、不加证明地接受并利用这个事实）。我们的目的是把这个定理化为实数系本身的基本性质，特别是化为有关区间套的戴特金-康托公理（即：(1)先定义：数轴上任意一串以有理点为端点的区间，他们中每一个包含在前一个里面，使得后面的区间长度趋近于0的一列区间称为区间套；(2)对应于每一组区间套，在数轴上恰有一个点包含在所有这些区间中，也就是所有区间的共同点顶多有一个）。

        为此，我们考察函数的定义区间，然后取中点以平分这个区间。

(1)如果在这个中点发现，那么就无需再证明了。

(2)如果，那么必然大于0或者小于0。无论哪一种情形，在的两半中有一个仍有下述的性质：在它的两个端点符号相反，我们称这个区间为。

       继续这个过程，平分。那么，

1)在的中点，

2)若，则选择区间的一半，即区间，在这个区间的两个端点，的符号相反。

       重复这个过程，或者在有限次平分区间后求得一点，使得，或者得到一个区间套序列。在后一种情形，戴特金-康托公理保证在内有一个点属于所有这些区间。我们将断定，由于这个点的存在就证明了定理。

       直到现在为止我们还没有用到连续性的假定。现在要用亿点时间进行间接推理，以确定我们的结论。我们通过反设并引出矛盾来证明。假定，例如。因为是连续的，我们能找到（可能很小）一个以为中点，长为的区间，使得在区间是固定的，又因为是收缩趋近于0的，所以如果充分大，小区间必然落到内。这就产生了矛盾，因为由选择的方法直到，函数在每个区间的两个端点符号相反，那么在区间内的某些点必然是负值。这样，由的不合理与的不合理（可以用同样地方法证明），就证明了。

       所以布尔查诺定理得证！

布尔查诺定理证明图示

布尔查诺定理看似简单，实则证明起来有一定的难度，同学们要细细咀嚼，理解其中的证明过程！

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