初探拿破仑定理及其性质

木土_-_日月

2021年01月16日 20:07

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拿破仑定理：以任意三角形的三边为边长，向外（或内）作正三角形，则这三个正三角形的中心的连线也为正三角形

如图，以 $%5CDelta%20ABC$ 的三边 $AB%2CBC%2CCA$ 向外（或内）作等边 $%5CDelta%20ABD%2C%5CDelta%20BCE%2C%5CDelta%20CAF$ ，则这三个等边三角形构成等边 $%5CDelta%20G_%7B1%7DG_%7B2%7DG_%7B3%7D$

向外作等边三角形的拿破仑定理

拿破仑定理的证明：（其证明方法数不胜数，在此用相似三角形证明，由于向内与向外的证明相似，在此仅证明向外作等边三角形）

证明拿破仑定理的辅助线添加方法

如下图是拿破仑定理的证明：

拿破仑定理的证明

拿破仑定理的拓展与性质：

三个等边三角形的中心连线构成的等边三角形(即拿破仑三角形)与原三角形共重心

拿破仑三角形与原三角形共重心

证明：

性质1的证明图1

性质1的证明图2

性质1的证明过程1

性质1的证明图3

性质1的证明过程2

2.三个等边三角形的非原三角形一边的顶点与原三角形的另一个顶点的三条连线共点，这个交点称为第一费马点（三个等边三角形向外作时）或第二费马点（三个等边三角形向内作时）

注：费马点与三个等边三角形的三个顶点分别四点共圆，即费马点为三个等边三角形的外接圆的交点，故费马点与原三角形的三个顶点的连线构成的三个角都是120度

第一费马点和第二费马点

证明：（因为第一费马点与第二费马点的证明类似，故在此只证明第一费马点）

第一费马点证明图

$%E8%AE%BECD%2CAB%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2CAC%2CBF%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9I%2CBC%2CAE%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9J$

$%E5%9B%A0%E4%B8%BA%5Cfrac%7BBH%7D%7BHA%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BAI%7D%7BIC%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BCJ%7D%7BJB%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20BDC%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20DAC%7D%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20BAF%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20BCF%7D%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20ACE%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20ABE%7D%7D$

$%5CDelta%20DBC%20%5Ccong%20%5CDelta%20ABE(S.A.S.)%2C%5CDelta%20DAC%20%5Ccong%20%5CDelta%20BAF(S.A.S.)%2C%5CDelta%20ACE%20%5Ccong%20%5CDelta%20FCB(S.A.S.)$

$%E6%89%80%E4%BB%A5%5Cfrac%7BBH%7D%7BHA%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BAI%7D%7BIC%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BCJ%7D%7BJB%7D%3D1%2C%E7%94%B1%E5%A1%9E%E7%93%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%AF%E7%9F%A5CD%2CAE%2CBF%E4%B8%89%E7%BA%BF%E5%85%B1%E7%82%B9%E4%BA%8E%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E7%82%B9T_%7B1%7D$

$%E8%AF%81%E6%AF%95$

3. 三个等边三角形的中心与非原三角形的一边的顶点的三条连线共点，这个交点称为拿破仑点（通常不与第一费马点和第二费马点重合）

拿破仑点

证明：

拿破仑点的证明图

$%E8%AE%BEAB%2CCG_%7B1%7D%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2CAG_%7B2%7D%2CBC%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9I%2CBG_%7B3%7D%2CAC%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9J$

$%E5%9B%A0%E4%B8%BA%5Cfrac%7BBH%7D%7BHA%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BAJ%7D%7BJC%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BCI%7D%7BIB%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20G_%7B1%7DBC%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20G_%7B1%7DAC%7D%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20BAG_%7B3%7D%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20BCG_%7B3%7D%7D%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BS_%7B%5CDelta%20ACG_%7B2%7D%7D%7D%7BS_%7B%5CDelta%20ABG_%7B2%7D%7D%7D%0A%3D%5Cfrac%20%7BG_%7B1%7DB%5Ctimes%20BC%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B1%7DBC%7D%7BG_%7B1%7DA%5Ctimes%20AC%20%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B1%7DAC%7D%5Ctimes%5Cfrac%20%7BG_%7B3%7DA%5Ctimes%20BA%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B3%7DAB%7D%7BG_%7B3%7DC%5Ctimes%20BC%20%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B3%7DCB%7D%5Ctimes%5Cfrac%20%7BG_%7B2%7DC%5Ctimes%20AC%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B2%7DCA%7D%7BG_%7B2%7DB%5Ctimes%20AB%20%5Ctimes%20%5Csin%20%5Cmeasuredangle%20G_%7B2%7DBA%7D%2C$

$%5Cmeasuredangle%20G_%7B1%7DAC%3D%5Cmeasuredangle%20G_%7B3%7DAB%2C%5Cmeasuredangle%20BCG_%7B3%7D%3D%5Cmeasuredangle%20ACG_%7B2%7D%2C%5Cmeasuredangle%20G_%7B1%7DBC%3D%5Cmeasuredangle%20ABG_%7B2%7D$ ,

$G_%7B1%7DA%3DG_%7B1%7DB%2CG_%7B2%7DB%3DG_%7B2%7DC%2CG_%7B3%7DA%3DG_%7B3%7DC$

$%E6%89%80%E4%BB%A5%5Cfrac%7BBH%7D%7BHA%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BAJ%7D%7BJC%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BCI%7D%7BIB%7D%3D1%EF%BC%8C%0A%E7%94%B1%E5%A1%9E%E7%93%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%AF%E7%9F%A5CG_%7B1%7D%2CAG_%7B2%7D%2CBG_%7B3%7D%E4%B8%89%E7%BA%BF%E5%85%B1%E7%82%B9%E4%BA%8E%E6%8B%BF%E7%A0%B4%E4%BB%91%E7%82%B9N$

$%E8%AF%81%E6%AF%95$

4. 三个等边三角形的中心与原三角形的三个顶点的连线构成的以拿破仑三角形为一边的三个三角形沿着拿破仑三角形的三边翻折，能刚好覆盖拿破仑三角形，且原三角形的三个顶点经翻折之后共点

三个三角形沿拿破仑三角形翻折后共点于X

5.拿破仑定理是佩特诺-道格拉斯-伊曼定理的特殊形式！

PDN定理的基本介绍和作法

拿破仑定理就介绍到这里啦，感兴趣的小伙伴们可以尝试证明一下5个性质，以及PDN定理！

（如果性质1有更好的几何方法可以私信我）

喜欢的话记得一键三连鸭！

数学平面几何拿破仑定理性质和证明

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