伟大的物理方程(3)欧拉公式

泰勒级数展开
欧拉公式严格来说不是一个物理方程,但它在物理学上有着重要的作用

欧拉公式可以用高等数学中的泰勒级数展开公式。

级数是无穷项数列的加和,即对于无穷项数列an,级数S=Σan。

对于一个函数f(x),如果它是C∞的(即无穷阶导数存在),而且你知道某一点x0得函数值f(x0),那么这一点临域的函数就可以表示成泰勒级数展开的形式。具体形式为,对于x0的某一邻域内,如果f(x)的无穷阶导数存在,那么f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)²/2!+.....f*(n)(x0)(x-x0)^n/n!+......


又称麦克劳林级数

但是,如果我们只需要函数(x)在x0临域内的近似,那么我们可以只取级数的前几项,剩下的项是相对于前几项的高阶无穷小,称作余项。

但是对于一般的函数,泰勒级数展开的近似只能放映它在x0某一临域内的函数情况,也就是说,超过这个临域,函数的近似就会极不准确,但是对于三角函数和自然指数函数e^x,却有着更广泛的意义。它们是推导欧拉公式的重要力量。

欧拉公式 

利用泰勒级数展开,将三角函数sinx和cosx以及复变函数e^(ix)进行展开,我们发现,在定义域内,它们都是成立的,对三者进行对比,便得到了欧拉公式e^(ix)=cosx-isinx,其中,i是虚数单位。


欧拉公式揭示了三角函数和指数函数的关系,将三角函数的定义域扩大到了复数。在复变三角函数中,有一些特殊的性质,比如它们可以大于1,这都是由欧拉公式直接推导出来的(复变三角函数直接对欧拉公式进行乘以-1,两式做加减运算即可)。

如果取x=π,就会得到e^(iπ)+1=0。这个公式简直就像上帝写下的,如此优美,令人不敢相信。这个小小的公式,一下子就包含了自然底数e、圆周率π、叙述单位i、自然数0、单位自然数1这五个最重要的常数。没有人知道这个等式的意义是什么,但的确让我们体现到了数学之美。





实变量常用函数幂级数展开


二项式定理


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