被低估的欧拉恒等式(中)


    牛顿和莱布尼茨发明的微积分使得人类在处理复杂的动态过程时有了更为犀利的剑。而牛顿-莱布尼茨公式所揭示的原函数和导数函数之间的关系除了将微分与积分之间的关系用更为直观的逻辑表示出来以外,更是直接提供了一种积分方法可以解决之前很多需要复杂计算的问题。再配合牛顿三大物理定律,宇宙的真相似乎向人类彻底揭开了面纱。

    牛顿和莱布尼茨都非常伟大,但是却并非完人,他们所创造的理论亦是如此,一些看起来非常简单的问题却让牛顿-莱布尼茨公式无从下手,就好比正弦函数和除式的简单组合:

    ∫(sinx/x)dx  (积分域为0到∞,有兴趣的同学可以试一试)

    尽管都是基本函数,没有眼花缭乱的变换也没有冗长的繁琐式子,我们却发现牛顿-莱布尼茨公式对它毫无办法。不得不令我们深思微分和积分真正关系是什么?而对于那一大批无法简单完成的积分我们究竟该怎么办呢?

    类比是人类最为强大的思想武器。

    方程是人类在处置动态问题时所发明的第一个方法,它大大简化了人类的思考难度,将复杂的递归思考历程具象化为了一个方程式。正是在解方程的过程中人类发现了虚数的存在,从虚数第一次出现到发现欧拉公式再到复数体系的初步成体系建立,足足跨越了三个世纪。而高斯对代数基本定理的完备证明彻底为复数进行了最终正名:它是人类目前所创造的最为完备的数系。

    那么如果在复数域考虑我们所熟知的微积分呢?您将再次体会复数的巨大威力:实数域割裂开的微分和积分在复数域变成了高度结合统一体,正如欧拉公式对三角函数和指数函数的作用一样,而很多复杂的实数问题通过复数的桥梁得到了高效解决,亦正如虚数对因式分解的桥梁作用一样。

    在对复函数进行微积分研究时,我们对在范围内处处可导的复函数称之为解析函数,由于函数为解析函数是一个很强的条件,因此针对解析函数的判定我们得到了著名的柯西-黎曼条件,即复函数f(z)=μ(x,y)+iv(x,y)是解析函数的充要条件为:


 

    通过对柯西黎曼条件的应用,我们在复函数的积分领域上得到了一个重要结论,那就是解析函数在区域内的任何闭合曲线上的环路积分均为0。它的一个简单物理具象就是在重力场中将一个物体以任意路径移动一周后回到起始位置的全过程做功为0。

    虽然解析函数有着优秀的性质和非常易于计算的积分(根本不用计算,闭合环路积分永远为0),但是显然还有很多复函数并非解析函数,譬如:复负次幂函数。

 


    如上图所示的积分过程,我们发现所有负次幂函数中,除了-1次幂积分结果为2πi,其他次幂的积分结果均为0,再结合正次幂函数均为解析函数的客观实际来看,我们发现了复幂函数积分的特点:除了-1次幂外,其他所有次幂积分均为0。

    这样我们得到了一个非常重要的结论,那就是只要把复函数展开为复幂级数,再计算-1次幂展开系数和单位积分贡献(2πi),那么我们便得到了原来复函数的积分结果!!!如下图所示:


 

    通过运用泰勒级数和洛朗级数对复函数的展开,我们得到了复数域积分最重要的一个定理,它彻底将复积分从实积分的简单模仿中脱离出来,得到了独立的复积分理论体系。这就是“留数定理”!

    我们听多了整数、分数、有理数、实数甚至复数,“留数”又是一个什么数呢?难道它是复数域的进一步扩充?

    其实数学中大部分用词的翻译皆是“望文生义”即可,“留数”正是留下来的数的意思!

    它的简单文字释义为(摘自百度百科):

    留数是复变函数中的一个重要概念,指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。根据孤立奇点的不同,采用不同的留数计算方法。留数常应用在某些特殊类型的实积分中,从而大大简化积分的计算过程。

 


    看起来好像非常抽象,但是记忆其实非常简单,我们前面说过复数是迄今为止人类创造的最完备数系,但是它并不是一个宇宙中最完备的数系。譬如:它对分母为0的情况仍然没有给出明确的处置,我们仍然无法有效地在复数域中处理无穷大(扩充复平面将无穷大当做一个点),而留数正是针对这一点在积分领域所提出的概念。

    如果解析函数在积分域中存在使得分母为0的奇点,那么这一点的留数(乘以2πi)就是该解析函数在该积分域的积分数值!它在数值上等于该解析函数在该奇点处做洛朗展开后-1次幂的系数!

    而留数也是存在加法的,即如果解析函数在积分域中存在若干分母为0的奇点,那么该解析函数在积分域的积分也等于这些留数之和(乘以2πi)。这便是留数定理①,而如果将积分域扩展为扩充复平面(即将无穷大作为一个复平面点)之后,便得到了留数定理②:在扩充复平面存在有限奇点的亚解析函数所有留数之和为0。

    如此,我们便在解析函数的积分基础上得到了一柄更为锋利的武器,它可以对并非处处解析的“解析函数”即常说的“亚解析函数”进行有效的积分运算。

    而通过留数定理为桥梁,若能将实数域积分转化为复闭路积分,我们便能计算一类通过常规方法难以计算的实积分了,譬如本文篇头所提到的sinx/x,我们来看一下它的解答过程:

 


    其基本思路为将积分路径拆分成R,-R段、-R,-r段、-r,r段、r,R段,它的全部积分路径为无任何奇点解析函数(通过选择r去除了包含0点的领域),故积分为0,而其中-R,-r段和r,R段积分之和正是2i∫(sinx/x)dx,再计算另两段的积分,我们便得到了该式的积分为π/2,这个积分正是物理中极为重要的阻尼振动积分(或者用于等幅阵的光强近似分布)。

    我们发现,这种方法的核心思路似曾相识,不错,正是在得到欧拉公式的过程中以虚数为桥梁将实数域难以进行的因式分解进行虚化处理,最后再通过简单组合消元消去虚数的套路。

 

    而全部积分过程完成后,我们回过头来发现,似乎,如雷贯耳的牛顿莱布尼茨公式和它附带的原函数、导函数概念完全没有出现!为什么复函数积分和实函数积分会有如此巨大的差异?

    微分与积分的本质是处理无穷小量。它们将之前只可意会不可言传的无穷小进行了量化并建立了完备的运算体系,简单来说,积分就是无穷小量的加法,但是微分且并非其减法,更合适的解读是它只是一个中间过程,是一个因式分解。实数域的无穷小量是一维的线性的,而一旦超越了这个界限,实数域的积分便无法进行正如部分方程在实数域无根一样。

    通过将数系扩展到复数域,我们得到了完备的无穷小量的加法和减法,并且更为直观合理,那就是积分路径的分段和合并!

    【本段为个人解读,并非主流看法,仅供参考】

  

    解析函数除了是区域内处处可导的复函数外,它还有着几个其他重要的等价性质①解析函数是分析调和函数②解析函数是几何保角映射③解析函数是无源无旋向量场。

    而几何保角映射正是复数另一个强大的秘密武器!可与广义相对论的张量坐标变换简单类比。这与复几何的本质有关系,虽然看似复数只是简单的将实部和虚部进行了叠加,但是因此而造成的函数几何表达直接从一维进入到了二维,复函数不再是单平面上两个坐标轴之间的关系转换,而是两个平面之间的关系转换。而解析函数的特殊性也让我们对它所表达的几何映射有了特殊兴趣。

    经过研究发现,在原平面(一般称为z平面)上的若干条曲线经过某个复函数变换之后,会在映射平面(一般称为w平面)形成新的若干条曲线,而如果这个复函数是解析函数,那么z平面和w平面上这若干条曲线之间的夹角是不会变的!此即为保角映射的“望文生义”。

    近代物理是场理论的天下,而场线和等位线关系的研究是其关键领域,显然复数在这个领域有着广阔的应用天地,我们可以选择恰当的解析函数将物理实在里不规则场分布转换到虚拟平面上的规则场分布,看一个简单的例子。

    我们知道电容是存储电荷用的,它存储电荷的能力可以用下面这个公式来计算:

    C=εS/d 。其中,ε是一个取决于填充材质的介电常数,S为电容极板的正对面积,d为电容极板的距离, k则是静电力常量。显然在平整的极板如理想平板电容中,电容非常计算。但是假如构成电容的材料并非简单的一维直线,如复杂的二维曲线边界呢?正如同计算长方形面积可以简单的长×宽,但是计算圆、椭圆或者其他更不规则的曲线围成的面积时就需要使用微积分一样。计算圆形和椭圆形电缆引起的电容效应过程可参考下图:

 


    显然,我们通过一个解析函数将椭圆曲线变换到了圆形曲线,再通过另一个解析函数将圆形曲线变换到了长方形,这个时候就可以利用计算公式计算长方形电容的数值,非常简单!而更为关键的是,它在数值上与原来的圆形电容或者椭圆形电容是相等的!其根本原因在于电容的产生根源在于电力线和等位线的分布相对关系,而保角映射虽然改变了电力线和等位线的位置,但是因为保角映射他们互相之间的相对位置并未改变,所以他们在数值上是一致的,正是这一特性让复映射在场应用中可以大展拳脚。

    而相似的是在流体力学中,如在研究飞机机翼流体动力模型中极其重要的茹科夫斯基映射,它将圆形通过参数调节可以映射为各式复杂的机翼曲线,由于是在保角映射下拉普拉斯方程不变,故可以通过计算圆形的动力来得到复杂机翼曲线的动力情况,从而达到优化设计机翼外形的目的。

    诸如此类不再赘述,我们更关心的是为何复几何会有如此不同于实几何的优秀性质,它们显得更为优雅更为简洁,不需要过多的牵强解释,自然而然就如同它正好就在那里,我们就这么恰时相遇。而类比广义相对论的坐标变换,他们究竟有什么区别和相似之处呢?

    笛卡尔的直角坐标系将直观的几何与抽象的代数进行了初步整合,使我们可以开始量化分析复杂的物理实在,并在其基础上通过微积分工具来进行一系列的复杂应用。我们会发现在笛卡尔坐标下,我们将原本复杂纠缠的物理实在简单正交分解为了两个独立维度,而通过对分解后各自维度的独立计算结果进行正交融合,我们得到了原本复杂问题的解释,比如牛顿定理对速度和动力关系的处理,可以让我们精确的将导弹射到任何想到达的地方。

    这样给我们造成了一种错觉,似乎宇宙中所有问题均可以采用这种分解法来进行解读,似乎各个维度之间并无关联。显然,人为认知的割裂并不会造成物理实在的割裂,他们仍旧是一个有机整体,割裂的只是我们的科学体系和认知智慧。

    复数的应用就是一个最好的实证,通过将实部和虚部视作一个复数整体,我们得到了比原本分割解读更为优雅的理论。在对实数系统简单模仿的基础下,我们得到了更为简洁更为直观更为优雅的复数系统。在欧拉工作的基础上,人类科学家们建立起了一系列的里程碑,高斯、柯西、黎曼等等一系列智慧星空中的耀眼群星一直在照亮着后人们前进的方向。

 

    常有人说你无法证明上帝不存在,所以凭什么信仰神就是不科学的!

    实际上信仰神跟神存在不存在一点关系都没有,我们以科学为信仰是因为科学是不断推陈出新不断自我批判和不断的突破极限创立经典,而宗教则是竖立一个至尊让后人去匍匐膜拜去战战兢兢和不断地吹毛求疵互相攻讦,这种信仰是我们完全不需要的!它仅仅是聊以抚慰我们脆弱心灵和虚弱肉体的一种心灵安慰剂!

    不断深入的量子领域实际上已经逐渐向我们揭开了一个事实真相,那就是我们的宇宙即使存在造物主,那也是它所无法掌控的!

    被低估的欧拉恒等式(下)将为您揭开复数系统在量子力学中的广泛应用,并简单探讨广义坐标变换和复变换的关系。

-- --
  • 投诉或建议
评论