人人都知道的欧拉公式

提示:文章内容谨代表个人观点

设一个多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E,则满足公式:V+F-E=2

这就是欧拉公式。

这个公式有趣的地方在于,为何最后的答案是个常数?还是2?为何不是1呢?

我们来探究一下。

我们从平面开始看起:

先设V+F-E=x

如果我们想画一个平面图形,比如三角形,首先要画一个点A,这时顶点数为1,没有线,没有面,所以x=1

然后我们再选定一个点B连接起来,此时顶点数为2,一条边,没有面,x=1

最后再选一个点C,连接AB、AC,此时顶点数为3,三条边,一个面,x=1

画其它几何图形时,如果一步一步的计算,发现永远是x=1

这是为什么呢?这是因为在画平面图形的时候,只有三种情况:

①创建一个点,这是画图的第一步,此时x=1,没有争论

②创造一个新的点,并与另外一个点连接(没有连接就凭空造点是耍流氓!),此时多一个点多一条边,可以看作V+1+F-(E+1),还是等于x,也就是一开始的1

③连接两个点,创造一个封闭空间,此时,边数+1,面数+1,可以看作V+(F+1)-(E+1),还是等于x,也就是一开始的1

所以所有的几何平面图形都满足这个条件


就算是欧派也满足这个条件

那么再研究三维图形就方便啦

如图,这是立方体的透视图,如果看成平面图形,很显然V+F-E=1,但因为透视的原因,还有一个面被我们忽视了,所以在三维的情况应该是V+F+1-E,所以x变成了2

另外,所有立体图形都满足这个条件,至于更严谨的证明,请移步百度或知乎

作者:nenn,平台:知乎

另外@李永乐老师 的视频里也有该证明的教学,大家可以去搜索一下,很有趣的。

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