欧拉公式的证明

欧拉先生自己对于欧拉公式的证明并不严谨(直接泰勒展开并且想加),其一是因为改变了求和顺序,其二是因为没有证明泰勒展开在复数上依然适应(用一些tricks也可代替),现给出一个比较严谨有不是很麻烦的证明。

令f(θ)=cosθ+isinθ,两边求导得f'(θ)=i(cosθ+isinθ)=i f(θ),解这个微分方程或者直接代入f(θ)=e∧(iθ)就可证明欧拉公式了。(这里用复变量级数来定义指数函数,证明其收敛然后再获得一些基本性质。)

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