被低估的欧拉公式(上)

    如果要在中等数学范畴中选一个最神奇的公式,那么欧拉恒等式无疑具有着无与伦比的气场:

    曾经有人说无法体会欧拉恒等式的美的人基本可以断定没有数学天赋,虽然略显夸张,但是却有着极为深刻的数理逻辑哲学含义在其中。

    e是一个常数,它最原始的定义源于对一个自然数相关的函数的极限即:

当n趋近于无穷大时,函数的极限(n为自然数);

    i是复数中的虚部单位,它的定义来源于-1的平方根,即

=±i;


    π则是人类第一个发现的无穷不循环数,它的原始定义就是欧式几何平面上所有圆的周长与直径之比,即C/D=π;

    1是第一个自然数也是人类发现的第一个数,它是如此的自然而然,所以基于此我们定义了整个“自然数系”;

    减号最开始仅仅用于表示从大份中拿取小份求余数,而一旦被减数大于减数之后,它便失去了最开始的意义,而扩充为加法的逆运算;

    指数函数最开始仅仅表示n个数连乘的缩写,但是将定义域扩充为非整数之后,它的原始定义便无法自圆其说了,通过连乘的逆运算开方将指数函数扩充到了有理数系;

    以上是以中等数学的视角对欧拉恒等式进行的初步审视。那么,显然的问题马上就来了:

    定义域为无理数的指数函数是个什么鬼?定义域为虚数的指数函数又是个什么鬼?一个指数函数的值域竟然包含了负数!而三个不知道什么鬼的数(e和π都是无穷不循环数,i是一个为了表示方便所发明的新符号),以一种相当简洁的方式整合后,竟然变为了极其简单的-1,而且这三个数从表面看是完全的风马牛不相及:e是一个自然数相关极限,π是一个几何比例,i是为了求解方程方便所定义的-1的平方根简写。

    它们为什么能相等呢?它们甚至连写在一起都让人无法理解,而它们竟然是相等的!


。。。。。。


    让我们反向梳理一下历史进程。

    只是欧拉恒等式的最终形式,但是它只是一个简写,将它进行第一次还原,我们的得到了:cos(π)+i*sin(π);

    而它也只是一个公式的特定取值,

,即欧拉公式,欧拉恒等式只是它在取值为π时的一种具体表达。正是这个公式将复数的三角函数表达与指数表达建立起了等价关系,从而构建了整个复分析的基石。

    而欧拉公式也只是三个无穷级数的缩写和简单复合运算。在建立数学分析的过程中,无穷级数吸引了无数的目光,正是在对它们的研究中,人们得到了很多不可思议的无穷级数,其中三个就是:



    其中第一个无穷级数来自于指数函数逆运算对数函数,而第2、3个无穷级数则是在对sin(nx)和cos(nx)做二项式幂展开时得到,分别在欧拉名著《无穷分析引论》的123节和133节提到,由这三个级数经过简单的运算组合即可得到欧拉公式的最终形式即,

参见《无穷分析引论》的138节。

    到此时,我们虽然得到了欧拉公式的形式表达,但是它似乎只是一种计算拆解和一种运算技巧,更多的好像是一种生拼硬凑,从符号形式上来看确实相等,但是其背后的更深层次含义是什么呢?为什么自然对数的底一个无穷不循环数有着如此奇妙的性质呢,而且它是至少两个无穷级数的收敛处?为什么一定需要掺杂虚数单位i在其中呢?等号和映射的含义在什么时候不知不觉被模糊和混合了呢?

    让我们回到复数最开始的地方。

    虚数首次出现是在16世纪解二次方以上方程时的公式中,数学家们发现很多方程式的根中出现了形如的项,这个在当时的数学哲学思想中无法理解,因为在现实中找不到任何与之对应的事例,数系随着从自然数到整数到分数到有理数到无理数到实数,它逐渐充满了整个实轴,人们认为实数系就已经是真实世界的完备对应了,而确实实数已经足以描述当时所有的工程实际问题了。

    固然在对二次以上方程求根问题上出现了虚数的原型,但是当时普遍的认识就是这个方程没有这个根,它毫无意义,就是一种巧妙地诡辩符号而已,对于实际的生活生产和工程应用没有任何用处。

    即使在欧拉的时代,虚数也完全没有任何应用价值,《无穷分析引论》一书中,欧拉使用的仍旧是

,我们仔细观察欧拉的推导过程,虚数在其中扮演的角色并没有那么重要:


 

    可以明显看到,欧拉之所以使用虚数,是因为在对


做因式分解时的必要,并且在后面三角函数的一系列计算中仍旧需要使用到它,所以欧拉所使用的虚数仅仅也只是一个计算技巧,它可以将平方和进行标准的因式分解,并且在幂乘时可以很方便的消解化归。而之所以欧拉敢于使用虚数的指数,源于他已经将指数函数进行了扩展,已经远远不是数的连乘意义了,而是反过来利用指数函数的反函数---对数函数对其进行了扩展,即正数的对数就是实数,负数的对数就是虚数:

    而虚数的应用正是在此时得到了不易察觉的扩充,在不被理解的方程根之外,它还可以对对数函数和指数函数的定义域、值域进行扩充,而得益于扩充之后的完备性,看似无关的三角函数和指数函数之间建立起了有机联系,正如同多次方程的求根公式,虚数的引入使得可以用一个标准公式来描述方程的所有根,而虚数对指数函数的扩充也使得三角函数和自然对数的指数函数之间建立了满射关系,此时说他们相等不如说是对每一个实数,通过三角函数的转换映射,可以在自然对数的指数函数定义域中找到一个值使得两者可以一一唯一对应。实际上在无穷循环分数提出的时候,等号就已经不再是1+1=2这个阶段等号的含义了,或者说得到了进一步推广,它已经初步将数的定义推向了集合的概念而非最开始所使用的简单数值,只是没有形成系统的概念而已。

    三角函数和指数函数的映射之所以能够建立是因为指数函数可以通过二项式定理进行分解,而三角函数的倍角关系借助虚数(如果没有虚数则无法写成一个统一表达式而实际上三角函数自身的值与虚数没有任何关系)转换成了指数关系同样也可以通过二项式定理进行分解。通过巧妙的选择指数函数的底,两个二项式展开将乘项变成了1从而可以进行化归约去,从而得到形式上的相同表达式,进而得到了最终的欧拉公式。而e之所以被称为自然对数的底,是因为它的选择使得exp(x)成为了一个唯一一个导数和自身相等的函数。

    最后剩下的一个问题就是

在n趋近于无穷大时的值为何与欧拉使用的无穷级数

在x=1处的取值?答案非常简单,根据指数函数导数的定义即可:对于指数任何指数函数,其导数用原始定义可表示为,

可以发现这个指数函数的导数是其本身乘以另外一个系数,而当右边的系数

时,这个指数函数的导数就是其本身,这正是自然指数的定义,而将其进行变换即可得到它就是

    在n为无穷大时的极限。欧拉的时代其实还没发现这一点,或者说它的存在对欧拉公式本身的发展历程来讲毫无意义,只是在后期人们无意中发现了这一点,实际上e是一类无穷级数的趋近。

    因为虚数单位i的平方负值特性,随着人们对虚数日益广泛的应用,尤其是高斯对代数基本定理给出了第一个完备证明之后,虚数的地位已经变得不可或缺了,人类科学体系的整个数系也正式扩充到了复数系,实数轴也进化到了复平面。欧拉公式、代数基本定理和棣莫弗公式的共同作用将复数的三角表达与指数表达进行了完美映射。正是这个时候,欧拉公式隐藏在背后的更为深层次含义才得以发掘。

    欧拉公式的发现初期其实并没有得到欧拉的多大注意,可以看做只是一个借助虚数单位的巧妙代数变换。而在复数体系正式建立之后,人们发现了欧拉公式更为本源的地方:相位角变换或者Z-W复平面变换,即任意复数乘以exp(ix)的含义就是将原复数在复平面上偏转x相位角,而复数1在偏转π相位角后,很明显转到了原点对称位置:-1,即刻便得到了欧拉恒等式!

    虽然即便没有欧拉公式也可以通过复数的三角形式得到复数的同失径乘法就是相位角偏转,因为(cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cos(x+y)+isin(x+y),但是显然没有exp(ix)*exp(iy)=exp(i(x+y))来的直观和简洁,跳出实数域进入完整复数域后,看似神秘莫测的欧拉公式变成了复数基本运算乘法的一个具体示例!而几个不知道什么鬼的无穷不循环常数在复数域的视角下有了更加自然和一目了然的解读(Z-W平面变换)。

    到此为止,我们初步对欧拉恒等式的来龙去脉进行了审视,似乎一切好像也没那么神奇,欧拉也并非神也有他很多不知道的,颇有文章本天成妙手偶得之的意味。虽然欧拉发现了欧拉公式但却并没有建立起复分析,也没有对虚数的本质做深入探讨,而正是针对这一系列的后续工作所建立起来的复分析让复数有了更为广阔的应用前景:柯西黎曼条件的解析函数、留数定理、曲面变换以及衍生的规范场论,这个时间跨度是几乎一百年。

    似乎,每一次的数系扩充都对数学理论和应用前景带来了深远变革或者是新的应用场景的需求促使了数系本身的进化,一个大致的脉络逐渐形成:那就是每次的数系扩充都将原有的定义域、值域空间变得更加没有人为限制,充满空间的映射也让很多以前人为设定的复杂边界变得更为自然和水到渠成如代数基本定理之与方程求根公式,而在复数系中留下的唯一0分母节点空白域也通过留数定理转换成了闭合积分的坍缩值。

    那么,我们有必要寻找三元数的欧拉公式吗?洛仑兹变换与复平面变换的区别在哪里,两者可以整合吗?四维时空的txyz坐标似乎显的特别不自然,人为规定的痕迹过于明显,我们可以借鉴欧拉公式的思路来进行改良吗?光速c是类似于e或者π的某个常数吗?分母0真的就是无法调和的数学黑洞吗?

    欧拉公式本身显然并没有什么特别神奇的地方,但是从数学史的进化历程上来重新分析的话,我们似乎可以得到更多的启示,而这个才是对我们人类来说最重要的地方,毕竟我们计算算不过计算机,下棋下不过计算机,玩记忆游戏更是被碾压,虽然暂时在模糊识别上占有一定优势,但是好像很快也会被超级计算机甚至普通家用计算机所超越,那么我们真正可以倚靠的智慧究竟是什么呢?

     被低估的欧拉公式(上)篇到此完结。

 


本文禁止转载或摘编

-- --
  • 投诉或建议
评论