李永乐老师视频中的一些问题

李永乐老师关于科普黎曼猜想中的视屏中存在一些专业性的错误,这里我觉得有必要指出一下,科普是不允许存在错误的。

由于本篇文章主要在于指出问题,至于怎么科普黎曼猜想,就不细说了。这方面我觉得比较好的是卢昌海先生所著的《黎曼猜想漫谈》一书。

并不唯一

首先是关于解析延拓的说法,在复数范围里的解析延拓确实是唯一的,但这个结论在实数上不成立,实数上保持光滑的解析延拓不止一种,这里可以参考任意一本数学分析或者复分析的书,这里我给出《Complex analysis》---Rolf Busam,Eberhard Freitag/ Page 126.介于李永乐老师是在实数域上举例子,所以我认为这是一种错误。

第二个是关于黎曼函数的解析延拓结果,

并不是

这个积分式并不是黎曼函数解析延拓后的结果,仍然是对Re(s)>1时成立的。那黎曼函数解析延拓后的结果长什么样子呢?

长这个样子

解析延拓后的结果

那个伽马是个钥匙孔形状的围道。李永乐老师其实这里可以解释一下这个解析延拓为什么行得通的,首先伽马函数的极点是负整数(这点比较好理解,结合伽马函数的定义的话),那么伽马1-s的极点是1,2,3等等,而那个围道积分的零点是2,3,4,......等,那么这里可以做一种所谓“抵消”的直观想象,只剩下1这个极点。是比较好理解的,要花费些时间,但李永乐老师没有这样做,令人感到些许遗憾。

不过介于这个视屏的受众大多都看不懂这两个式子,和李永乐老师在第三期的科普中有改过来,所以客观上并没有什么大问题,但错误就是错误,需要指出。

第三处错误就有点严重了,这是关于数学史的科普错误,先看视屏中的说法,


首先这个约等于有点问题,严格来说pi(x)和x/ln是两者比值等于1当趋向于无穷大时。如果你研究这两个函数的差值,你会发现这个差是越来越大的,举个例子,比如函数x^2和x^2+2x+1,他们的比值等于1当x趋向于无穷大时,而他们的差值,就是2x+1是趋向于无穷大的,不能用约等于表示。然后数学史上的问题就出现了,李永乐老师说这个东西是欧拉发现的,问题在于欧拉并没有发现这个东西,因为这个按照他约等于的说法来讲,就是素数定理。欧拉导师是研究1/p这个级数(对质数求和),发现了∑1/p~loglogn这个式子,而如果再从这里往下走,就会发现pi(x)~x/lnx,即素数定理(这也大概是高斯或者勒让德的思路)。

然后紧接着又有问题出现了,

这个积分

这个积分不是勒让德提出来的,勒让德是提出pi(x)~x/lnx而高斯是提出的这个积分式,这个积分式更为精确一些,口说无凭,这里放张图

选自潘承洞,潘承彪《解析数论基础》

没有人会质疑这本砖头书吧?所以我猜测把高斯也归进去的原因,更大是在于他提出了这更精确的式子。(顺带一提,高斯和勒让德两人研究的东西,一些都重复的,比如,最小二乘,误差函数,二次剩余,椭圆函数等等,确实很令人觉得可惜。)

而且这里没有解释什么是余项,也是一件令人遗憾的事情,余项的概念也不难解释。更令人遗憾的是,李永乐老师在强调素数定理和黎曼猜想的联系时,并没有指出两者是如何联系的,

黎曼J(x)

而这个J(x)和素数函数的关系是差了x^(1/2)的余项。那个求和号是对黎曼函数的零点求和,所以黎曼猜想对素数研究就可见一斑了。

最后就是李永乐老师对于1+2+3+……的这个发散级数的看法。



我目前没看过这方面的理论,但还是要稍微要提下。首先数学里有专门研究这种“很奇怪”的级数的领域,叫发散级数,印象中有本《发散级数论》就是大数学家哈代写的,所以我不认为这只是感觉好玩。而且发散级数在处理某些物理问题中也有很大用处,但至于是哪些物理问题,我就不清楚了,因为我不是这方面的专家。而那个李永乐老师问的对不对,其实很难回答,你说用柯西对于极限的定义来说这肯定不对,但某种方式来说又是可以理解的。

所以综上所述,希望李永乐老师在准备科普的时候可以更仔细地了解下要科普的内容,然后科普的时候更多地去解释背后的东西,还有一些细节。数学这门学科的科普,不同于物理天文,很少存在外行人的理解方式,所以要大家听明白,又不犯错误,是比较难的,尽管可以用一些“不严格”的推导,但一定要指出。

本文为我原创

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