当你试图用不饱和度计算公式证明立体几何欧拉公式

立体几何欧拉定理:V+F-E=2,即顶点数加面数减棱数等于二。

我之前在学碳氢化合物的不饱和度的时候想到借助不饱和度的计算公式可以推导欧拉定理,也就是借助于建模来证明这个定理,于是我整理了一下思路,搞了这么个专栏。


首先让我们来看一下碳氢化合物不饱和度(用Ω表示)的计算式,大家基本上多多少少也上过吧,那我简单提一下。

若某个烃的化学式为CxHy,其Ω=(2x+2-y)/2。也等于碳碳双键数+成环数+碳碳三键数x2。比如烯烃和环烷烃的不饱和度为一,炔烃为二,烷烃为零。

对于立体结构的烃,有效成环数等于实际成环数减一,比如说给你一个正八面体,砍去五条棱就可以得到一个链状结构,所以对于一个立方烷而言,即使有六个面,不饱和度是五。

好,那么正片开始吧。

先举个例子,看看C60

实际上每个碳和周围的碳原子成三个西格玛键,剩余一个单电子参与大派键的形成。不饱和度还是可以算的,但不易理解,那换一个方式。

假设存在C60的衍生物C60H60,即原来的每个碳原子都和一个氢相连使它们都饱和。

不饱和度Ω为(60x2+2-60)/2=31,则它有三十二个环。

根据碳外层电子数是八,氢是二,则有(4x60+60)/2=150根键,其中六十根碳氢键,则有九十根碳碳键。

面数加顶点数减去棱数,32+60-90=2。

那么,对于一个正多面体,它顶点与棱的分布和C60H60一致,则欧拉定理对它而言成立。

对于任意正多面体呢,假设它有n个顶点。

构造一个无不饱和键的立体烷烃,它的碳原子排布和这个正多面体一致,碳碳键的分布和这个正多面体的棱一致。

根据碳四价原则,如果有叔碳原子,则给它连一个氢,季碳则不连氢。如果这个碳和五个,六个,甚至七个碳相连呢?那就让它连负一,负二,负三个氢,以此类推。

为什么可以连负数个氢?因为不饱和度计算公式的推导过程并没有要正数个氢的条件,因此及时某个碳和负数个氢相连,依然成立。

那么,假设总共有m个氢。

不饱和度Ω=(2n+2-m)/2,那么应该有(2n+4-m)/2个面。

同样,根据根据碳外层电子数是八,氢是二,有(4n+m)/2条键,其中m条是碳氢键,则碳碳键有(4n-m)/2条碳碳键。

也就是说原来的正多面体有n个顶点,(2n+4-m)/2个面,(4n-m)/2条棱。

不难得到,面数加顶点数减去棱数=2,成立,证明完成。


也许这个证明方式论证得不够严谨,也不够巧妙,只是一个奇思妙想而已,但我认为可以融会贯通有机化学和几何,倒不也是什么差的证明。

本人初中没毕业,算是一个小小的献丑吧,有错误或者有啥见解不妨在评论区指出。

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