男孩女孩悖论（Boy or Girl Paradox），是这样一道数学应用题：
“有一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，求另一个是女孩的概率。”
这个题目在我们学习概率论的时候会学到，并且数学教材给的答案是1/3。但是也有人认为答案应该是1/2。说这道题目是悖论，就是在于这两个相互矛盾的答案似乎都是正确的，都有一定理由支撑，也都有一批人支持。
我下面给出一个1/2的证明，欢迎大家来反驳。
题目：有一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，求另一个是女孩的概率。
前提：
1. 该户人家生下的所有孩子的性别独立；（题目隐含条件）
2. 该户人家生下的任意一个孩子的性别以1/2的概率取值为“男”，1/2的概率取值为“女”，没有其他可能的取值；（题目隐含条件）
3. 该户人家生下这两个孩子有先后顺序。（题目没有隐含这个条件，但是这个命题非常弱，把它列为前提无伤大雅）
推理一：
4. 记这两个孩子中先生下来的那一个为“先生者”，后生下来的那一个为“后生者”，题目中提到的已知其性别为女的那一个为“已知者”，欲求其性别为女的概率的那一个为“未知者”；（记号约定，命题3）
5. 根据命题1和2，易知先生者和后生者的性别的联合概率分布为：
先生者的性别，后生者的性别，概率
男，男，1/4
男，女，1/4
女，男，1/4
女，女，1/4
6. P(后生者的性别=女|先生者的性别=女)=P(后生者的性别=女，且先生者的性别=女)/P(先生者的性别=女)=(1/4)/(1/4+1/4)=1/2；（条件概率的定义）
7. P(先生者的性别=女|后生者的性别=女)=P(先生者的性别=女，且后生者的性别=女)/P(后生者的性别=女)=(1/4)/(1/4+1/4)=1/2；（条件概率的定义）
8. 人x的性别是关于x的一个函数；（性别的定义）
9. 或者已知者是先生者，或者已知者不是先生者；（排中律）
10. 假设已知者是先生者；
11. 那么已知者=先生者，且未知者=后生者；（假设10的另一个说法）
12. 那么已知者的性别=先生者的性别，且未知者的性别=后生者的性别；（等词的代入规则，命题8、11）
13. 那么P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)=P(后生者的性别=女|先生者的性别=女)；等词的代入规则，命题12）
14. 那么P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)=1/2；（等词的传递性，命题13、6）
15. 假设已知者不是先生者；
16. 那么已知者=后生者，且未知者=先生者；（假设15，前提3）
17. 那么已知者的性别=后生者的性别，且未知者的性别=先生者的性别；（等词的代入规则，命题8、16）
18. 那么P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)=P(先生者的性别=女|后生者的性别=女)；（等词的代入规则，命题17）
19. 那么P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)=1/2；（等词的传递性，命题18、7）
20. P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)=1/2。（析取消去规则，命题9、子证明10-14、子证明15-19）
证毕。
你可能会反驳道，这个推理一的命题14和19的成立是分别建立在假设命题10和15成立的基础上的，命题20没有建立在假设命题10或15成立的基础上，然而假设命题10成立的时候、假设命题15成立的时候以及没有任何假设的时候，三者的概率空间是不一样的，命题14、19和20里的“P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)”不是同一个东西，因此仅根据析取消去规则不能合法地得出命题20。这个问题我只需要在原推理的基础上稍作修改就能解决。
推理二：
重复命题4-14；
增加命题14.5：
P(未知者的性别=女|已知者的性别=女，且已知者是先生者)=1/2；（条件概率的定义，命题10-14）；
重复命题15-19；
增加命题19.5：
P(未知者的性别=女|已知者的性别=女，且已知者不是先生者)=1/2；（条件概率的定义，命题15-19）；
删去命题20，增加命题21：
P(未知者的性别=女|已知者的性别=女)
=P(未知者的性别=女|已知者的性别=女，且已知者是先生者)*P(已知者是先生者|已知者的性别=女)+P(未知者的性别=女|已知者的性别=女，且已知者不是先生者)*P(已知者不是先生者|已知者的性别=女)
（根据条件概率的定义，我们有 P(A|B)=P(A|BC)*P(C|B)+P(A|B~C)*P(~C|B)，其中 ~C 表示事件 C 没有发生，即与事件 C 互为对立事件）
=1/2*P(已知者是先生者|已知者的性别=女)+1/2*P(已知者不是先生者|已知者的性别=女)
（命题14.5、19.5）
=1/2*[P(已知者是先生者|已知者的性别=女)+P(已知者不是先生者|已知者的性别=女)]
=1/2*P(已知者是先生者，或已知者不是先生者|已知者的性别=女)
=1/2*1
=1/2
证毕。
