【高中数学】联系三角、复数、向量的桥梁——欧拉公式


欧拉公式最早是由英国数学家Roger Cotes(1682-1716)提出的,由于Euler(欧拉,1707-1783)首先用i来表示虚数单位,现在一般称其为欧拉公式。其形式如下:

其严格证明涉及到较为深入的内容,不便于高中生理解,在这里利用复指数函数的定义(注意,这涉及复变函数的概念)来进行演示:

设复数z=x+iy,则利用复指数函数e^z的定义:

取x=0,y=θ即得到欧拉公式。

我们知道,单位圆上的点可以用一个角θ的三角函数表示为(cosθ,sinθ),而在复平面上,点(cosθ,sinθ)就对应了复数z=cosθ+isinθ=e^(iθ),且以圆心为起点,z为终点还构成了一个向量Oz,如下图所示:

自然地,我们可以有如下定义:若非零复数z=x+iy所对应的向量Oz间的夹角θ合于tanθ=y/x,则称θ为z的辐角,记为θ=Arg z,并称适合条件-π<argz≤π的辐角argz称为辐角主值。显然

记r=|z|(|z|为复数z)的模,则z=x+iy有如下的三角形式和指数形式:

利用欧拉公式可以将θ的三角函数表示为如下形式:

这两个式子利用向量可以得到直观地解释。如下图所示,向量OA和OB分别为复数e^(iθ)和e^(-iθ)对应的向量,由平行四边形法则做出向量OC,它对应的复数是一个实数2cosθ;由三角形法则做出向量BA,它对应的复数是一个纯虚数2isinθ。

利用欧拉公式还可以轻易地得到和差化积公式与积化和差公式。首先有

这是为了凑出角(α+β)/2和(α-β)/2。上式的右侧就是上面的图中所展示的,括号中是一个实数或纯虚数,即

对上面式子两侧分别取实部和虚部就得到四个和差化积公式:

同理,由于我们有

上式左侧的括号中又是一个实数或纯虚数,即

对上面式子两侧分别取实部和虚部就得到四个积化和差公式:

上面用和差化积与积化和差做了例子,请读者自己试着用复数的方法证明两角和与差的正弦和余弦公式。

下面来看一下复数模和辐角的性质,用复数的指数形式不难证明:

即两复数相乘,模等于两复数模长相乘,而辐角等于两复数辐角相加,除法同理。

最后介绍复数的幂和方根。利用复数的指数形式可以得出:

非零复数z的n次方根为:

这两组公式被称为棣莫弗(De Moivre)公式。上式中右面乘积的第一项为1的n个n次方根,一般记作

比如n=6时,1的6个6次方根就如下图所示:

关于复数与三角、向量之间的内容实际上很丰富,但这些往往涉及到复变函数的内容。有兴趣的读者可以查阅复变函数的相关书籍。

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