一、芳贺第一定理的由来（芳贺先生自述）

        关于折纸的第一个数学发现是在1978年。那时，我是一名节肢动物形态学专业的生物学家，我在显微镜下观察微小的昆虫胚胎，由于显微研究需要很多时间来解决精神疲劳和眼睛疲劳的问题。为了恢复精力，我经常在休息的时候把从小笔记本上撕下来的纸折叠起来。

        然后，我在折叠后的纸张中发现了一些有趣的现象，并与著名的理论物理学家Koji Fushimi教授的观点相对应。 后来，他在1979年的月刊《Sugaku (Mathematics) Seminar》中介绍了我的见解，题目为“Origami Geometry, Haga Theorem(in Japanese)”。 该定理由他使用我的姓氏命名，因而首次报道为“ Haga's Theorem-芳贺定理”

        在随后的几年中，我在正方形和长方形的纸上相继发现了更多的现象，因此我在1984年将该定理的名称更改为“ Haga's First Theorem-芳贺的第一定理”。

二、芳贺第一定理的内容

    1、正方形的第一折

            当你拿到一张正方形的纸进行第一折时，我们只会产生两种情况： a）将顶点放在相邻的顶点上形成等分线。b）将顶点放在相对的顶点上形成对角线。

具有可复制性的两种情况

            为什么只有两种情况？ 在基本折纸中，折叠过程涉及点对点或线对线（点对线不能只使用一次就得到唯一确定的结果） ，也就是说所有可接受的折痕都必须具有可复制性（不同的人得到的结果必须始终相同） 。在第一折中， 我们仅能使用四个边缘和四个顶点，通过考虑所有的操作，我们只能得到两种情况。

那么，如果在正方形上指定另一个除了四个顶点之外的点，还可以进行其他哪些折叠？ 

这就是接下来我们要谈的事情：

    2、利用勾股定理求解（a²+b²=c²）

         2.1、寻找特殊点

        当我们在不使用任何工具的情况下选择正方形纸上的特定点时。除了四个顶点之外，最简单的选择便是边的中点。

将左上角的和右上角的点对齐，轻轻压出一条较短的标记线

        为了方便接下来的讨论，我们将正方形纸水平放置。 因此，我们将边缘指定为上边、下边、左边、右边。 顶点为左上、左下、右上、右下。现在，我们将右下角的顶点放置在上边的中点上（其他的折叠方式在不在此讨论）

右下角的点对齐上边的中点折叠

        通过这种折叠的方式，形成了不对称的结果。 为了方便接下来的讨论，让我们做一些标记。

接下来这张图会反复出现

        2.2、右侧的边被划分后的比例？

        首先，我们假定正方形的边长为1。在右侧的RT△DEF中， 假设DF=a，则FC=1-a。通过折叠的过程可知FE=FC，因此FE=FC=1-a

        由于E是线段AD的中点，所以DE=1/2。

        对RT△DEF应用勾股定理，可知a=3/8，即DF=3/8，则FE=1-a=5/8

应用“勾股定理”求解DF和FE的长

换句话说，通过上述折叠的过程，正方形的右边被划分为3：5。此外，△EDF的三条边的比例为：

△EDF的三条边的比值

侧面证明△EDF是直角三角形，对吗？

        2.3、左侧的边被划分后的比例？

        依然假定正方形的边长为1，则DF=3/8，FE=1-a=5/8

        由于正方形的顶点C折叠到点E上，并且∠C=90°（直角），因此∠HEF=90°（直角）

        因此，与∠HEF相邻的两角互补，即∠AEH+∠DEF=90°（依据：平角为180°）

        由于△DEF是直角三角形，所以∠DFE+∠DEF=90°。

        综上所述，可知：∠AEH=∠DFE ， 同理可知∠AHE=∠DEF。

        所以RT△EAH∽RT△FDE（AA）

        根据相似三角形性质定理（三边对应成比例）。可知AH=2/3

        AH的值表明点H将正方形的左边划分为1:2，即点H是三等分点

根据前一步的结果继续求解

        2.4、底部的边被划分后的比例？

        依然假定正方形的边长为1，则 AH=2/3。

        由于E是线段AD中点，所以DE=1/2。

         因为△AEH是直角三角形，为△AEH应用勾股定理，可知HE=5/6。

        将直线EI恢复到原始位置直线CB上，可知点H将底边划分为1:5。 

        也就是说，点H是底边的六等分点。

利用“勾股定理”求解HE

         2.4、FG的长度（感觉算这个纯粹是因为强迫症，具体的可以去看原文）

    3、成果汇总（具体的可以去看原文）

上述证明过程的汇总

三、扩展及延申-Extending Toward a Generalization

        任一点的方程式。公式可以直接记下来用。我在这里提供10等分内的所有特殊点对应的值，有需要自取即可。

假设未知数

计算结果

函数图像及部分特殊点的值

四、契机

        前两天折了加藤的非洲象，新版折图使用的取线方式非常有意思。我记得折友金刚也提供过类似的取法，于是和金刚进行了一些交流，最后我们认为芳贺先生可能已经研究过此类课题了。于是我翻到了芳贺先生的书（国内没找到资源）。

实际上就是将“芳贺第一定理”中的定点由1/2改为1/3。也可以理解为芳贺第三定理

            目前刚刚读完第一章，接下来的部分有时间仍然会拜读。

        考虑到纸圈大多数折友知道但并不了解“芳贺第一定理”。于是决定写下这篇专栏。我在理解文章的基础上，进一步整理汇总得到该文。总体来说，该文基本上遵循了原文的思路，不过有条件、有能力的小伙伴还是推荐阅读原文（目前来看，还算通俗易懂）。

五、参考资料

    1、《Origamics ：mathematical explorations through paper folding》-Kazuo Haga

    2、《ORIGAMI NATURE  STUDY》-SHUKI KATO

左《Origamics ：mathematical explorations through paper folding》，右《ORIGAMI NATURE  STUDY》