省流：众所周知，现在的彩票出的球都是反重力静电粘粘球，粘住了结果也有效，所以彩票全是假的（确信）
双色球的数学期望
绪论
ㅤㅤ玩家从33个红球中选择6个，从16个蓝球中选择1个，记作“6+1”。官方随机生成一个“6+1”的标准答案，按照玩家球与官方球的匹配程度判定奖励等级。三~六等奖的奖金为常量，而一二等奖的奖金是一个浮动的变量，只能从网页（https://kaijiang.500.com/shtml/ssq/20001.shtml）爬取。在爬取之前，可以设它们分别为a元/注和b元/注。
推导过程
ㅤㅤ将所有可能性和对应的奖励等级、奖金和概率列在一张表中：
ㅤㅤ根据上表，将上表中相同奖项在不同组合下的奖金-概率的乘积求和，可求出各奖项的数学期望：
ㅤㅤ1. 成本为-2元/注。
ㅤㅤ2. 六等奖为“0+1”，在列出表后可知，六等奖的实现条件实际上为(0+1)||(1+1)||(2+1)。
ㅤㅤ因此，其概率为，奖励为+5元/注，故六等奖的期望约为+0.2945元/注。
ㅤㅤ3. 五等奖为“(4+0)||(3+1)”，其概率为，奖励为+10元/注，故五等奖的期望约为+0.0776元/注。五等奖的每注期望居然比四等奖还少一分钱，好坑啊。
ㅤㅤ4. 四等奖为“(5+0)||(4+1)”，其概率为，奖励为+200元/注，故四等奖的期望约为+0.0868元/注。
ㅤㅤ5. 三等奖为“(5+1)”，其概率为，奖励为+3000元/注，故三等奖的期望约为+0.4114元/注，有点意思。
ㅤㅤ6. 二等奖为“(6+0)”，其概率为，奖励为b元/注，故二等奖的期望约为+8.4645×10⁻⁷b元/注。
ㅤㅤ7. 一等奖为“(6+1)”，其概率为，奖励为a元/注，故二等奖的期望约为+5.643×10⁻⁸a元/注。
ㅤㅤ将上述所有期望相加，可得买双色球赚钱（即总的期望>0）的条件为：
-2+0.2945+0.0776+0.0868+0.4114+8.4645×10⁻⁷b+5.643×10⁻⁸a>0
ㅤㅤ将2移到右边，让等式两边各乘，得：
ㅤㅤ所以，赚钱条件即为，其中n₀为游戏中的所有可能性，nᵢ为中第i等奖的所有可能性；x₀为每注成本，xᵢ为每注得第i等奖时的奖金。
ㅤㅤ化简上式中的各C值可得：
5218200+1374750+1076400+99000+a+15b>35442176
ㅤㅤ移项可$a+15b>27673826。
结论
ㅤㅤ当双色球的一等奖奖金为a元/注，二等奖奖金为b元/注时，若满足a+15b>27673826，则该彩票的数学期望大于0。将一等奖奖金作为纵坐标，二等奖奖金作为横坐标并绘制每年的各期双色球的奖金的散点图，并将上述条件画成一条直线，结果如下图。
ㅤ2003~2022年的双色球一、二等奖奖金与期望分割线
ㅤㅤ从图中可见：
ㅤㅤ1. 2008年以后就不再有在直线右上方的散点，即期望>0的期数，且2016年之后一等奖奖金不再超过10⁷（一千万）。因此，从2008年以后，买双色球必亏无疑（指数学期望<0）。
ㅤㅤ2. 一等奖的奖金逐渐收敛至5×10⁶~10⁷（五百万至一千万）之间，同时二等奖的奖金在逐年减少，且奖金点趋于集中在一个顶点为(0, 5×10⁶)，底边长为10⁷的钝角三角形区域。
ㅤㅤ3. 红点为一年当中所有奖金点的算术平均值，它收敛于(1.9×10⁵, 7.7×10⁶)附近。因此，每张彩票的数学期望==
=-0.64元/注。平均来说，您每买一注双色球将
损失为福利事业奉献0.64元。
ㅤㅤ4. 此外，还有少数点的纵坐标为0，代表该期无人蒙中一等奖（换个角度来说，是官方刻意避开了）。
代码
爬虫和画图用的代码如下：
import numpy as np
import csv,os,re,requests,
from matplotlib import pyplot as plt
from PIL import Image
#爬虫
headers = {'User-Agent': 'Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:98.0) Gecko/20100101 Firefox/98.0'}
file=open(r"D:/双色球.csv", mode="a", encoding="utf-8-sig", newline="")
writer = csv.writer(file)
for Year in range(20,23):
year=str(Year).rjust(2,"0")
for Episode in range(1,160):
episode=str(Episode).rjust(3,"0")
response = requests.get('https://kaijiang.500.com/shtml/ssq/'+year+episode+'.shtml',headers=headers)
response.encoding = 'GBK'
response.encoding = 'utf-8'
ab,a,b = re.split('<tr align="center">',response.text,5),"",""
try:
x,y = ab[3].split('\t'),ab[4].split('\t')
x,y = x[21],y[21]
for i in x:
if '0'<=i<='9':a+=i
for i in y:
if '0'<=i<='9':b+=i
try:a=int(a)
except:a=0
try:b=int(b)
except:b=0
writer.writerow([year+episode,a,b])
except:
writer.writerow([year+episode,0,0])
if(Episode%10==0):print(Year,Episode)
#画图
X=[]#二等奖向量
Y=[]#一等奖向量
file=open(r"D:/双色球.csv", mode="r", encoding="utf-8-sig")
reader = csv.reader(file)
Year="03"
for row in reader:
if row[0][0]>'2':year='0'+row[0][0]
else:year=row[0][:2]
if year==Year:
a,b=int(row[1]),int(row[2])
X+=[b]
Y+=[a]
else:
plt.scatter(X,Y)
plt.scatter(sum(X)/len(X),sum(Y)/len(Y),color="red")
plt.plot([0,1844922],[27673826,0])
plt.xlabel("2nd")
plt.ylabel("1st")
plt.title("1st and 2nd prizes in Year"+Year)
plt.savefig(fname=r"D:/"+Year+".png")
plt.show()
Year=year
X=[]
Y=[]
a,b=int(row[1]),int(row[2])
X+=[b]
Y+=[a]
plt.scatter(X,Y)
plt.scatter(sum(X)/len(X),sum(Y)/len(Y),color="red")
plt.plot([0,1844922],[27673826,0])
plt.xlabel("2nd")
plt.ylabel("1st")
plt.title("1st and 2nd prizes in Year"+Year)
plt.savefig(fname=r"D:/"+Year+".png")
plt.show()
#将png图片组合成gif动图
im = Image.open(r'D:\03.png')
images = []
images.append(Image.open(r'D:\04.png'))
images.append(Image.open(r'D:\05.png'))
images.append(Image.open(r'D:\06.png'))
images.append(Image.open(r'D:\07.png'))
images.append(Image.open(r'D:\08.png'))
images.append(Image.open(r'D:\09.png'))
images.append(Image.open(r'D:\10.png'))
images.append(Image.open(r'D:\11.png'))
images.append(Image.open(r'D:\12.png'))
images.append(Image.open(r'D:\13.png'))
images.append(Image.open(r'D:\14.png'))
images.append(Image.open(r'D:\15.png'))
images.append(Image.open(r'D:\16.png'))
images.append(Image.open(r'D:\17.png'))
images.append(Image.open(r'D:\18.png'))
images.append(Image.open(r'D:\19.png'))
images.append(Image.open(r'D:\20.png'))
images.append(Image.open(r'D:\21.png'))
images.append(Image.open(r'D:\22.png'))
im.save(r'D:\双色球.gif', save_all=True, append_images=images, loop=1, duration=1000, comment="")刮刮乐（好运十倍）的数学期望
绪论
ㅤㅤ玩法：该彩票的成本为-10元/张，其中有一个目标和10行数字，前3行有8个数字，后7行分别有7、6、5、……、1个数字。根据百度图片搜索可推测，这些数字最小为1，最大为56。在这10行数字中，如有任一数字与目标匹配，则可得到数字所在行末尾的奖金。如果有数字10，则可得到数字所在行末尾的奖金的10倍。中奖金额有10、20、30、40、50、60、100、200、500、1000、5000、400000共12种。
ㅤㅤ注意事项：假设56种数字出现的概率相同，同一行出现n个目标数字则获得该行末尾奖金的n倍；在此基础上，该行出现m个10时，则获得该行末尾奖金的(10m+n)倍。同时，假设目标不为10。
推导过程
ㅤㅤ假设12种奖金出现的几率相同，则每行的基本奖金期望为=33917.5元，与事实不符。
ㅤㅤ在不清楚各种奖金出现的概率时，可以假设每种奖金出现的概率等于其倒数的k倍，则有，将12种奖金“并联”可得k=10//20//30//...//400000≈3.8。在这种情况下，每行的基本奖金期望=12×3.8元=+45.6元，所以在下面推导期望时可将每行的奖金看做+45.6元。一般地，假设有n种不同的奖金，每种奖金出现的概率等于其倒数的k倍时，k为n种奖金的并联值，奖金的期望=nk。
ㅤㅤ假设一行有n个数，每个数与目标相同的概率=，出现10的概率也为
。该行中出现a个目标和b个10的概率为
，所以该行的总数学期望则为
元。根据该公式，可算出的10行的总数学期望为+512.65元，整张彩票的总数学期望为+502.65元。
结论
ㅤㅤ任何期望大于0的结果都与事实不符。
ㅤㅤ在现实中，彩票中数字10出现的概率微乎其微，应将其忽略不计。排除数字10以后，每行数字对应的奖金的数学期望为元。但即使这样计算，整张彩票的总数学期望仍为42.34元/张，仍与事实不符。
ㅤㅤ在现实中，彩票的每个数字与目标相同的概率也很小，且各个数字出现的概率是未知且可操控的。假设目标出现的概率为p，则每行数字对应的奖金的数学期望为元，且有
。这里用到了一点多项式展开和求导的小技巧。
ㅤㅤ整张彩票有52个数字，故有45.6×52p<10，解之得。综上所述，数字与目标匹配的概率小于约
时，好运十倍的期望不大于0。在p不超过
时，每张彩票出现目标数字的概率不超过
。
ㅤㅤ综上所述，如果“每种奖金出现的概率与其倒数成正比”，则要在保证每5张彩票中至少有1张包含目标数字，彩票的数学期望才为正。而每种奖金出现的概率是未知的，甚至可能被人为操控。笔者在刮这类彩票的时候发现，“一行是否包含目标数字”与该行的奖金也不是两个独立的变量。
代码
ㅤㅤ在包含数字10时，求10行数字的总期望所用的代码：
def E(n):
y=0
for a in range(n+1):
for b in range(0,n-a+1):
y+=(a+10*b)*C(n,a)*C(n-a,b)*(1/56)**(a+b)*(55/56)**(n-a-b)
return y*45.6
print(sum([E(8),E(8)]+[E(i+1) for i in range(8)]))ㅤㅤ其它情况以此类推。
备注
ㅤㅤ求的函数：
def C(a,b):
y=1
for i in range(b):
y*=a-i
y/=i+1
return y
