1.Question

时间序列的数据分析中，ARMA和ARIMA是常用的统计模型，主要用于描述和预测时间序列模型。当我们拿到一个时间序列数据，首先要观察时间序列数据是否平稳（均值和方差不随着时间变化），如果时间序列本身是平稳的，直接用ARMA模型；如果不平稳则需要平稳化处理，一般是使用差分处理（差分之后数据之间的时间自相关性会减少，消除趋势，让时间序列更接近平稳状态），如果时间序列有季节性，除了普通的差分之外，还要进行季节差分来消除季节性波动的影响，到此时我们就可以使用ARIMA模型。

但是无论使用ARMA还是ARIMA模型，都要确定时间自相关的阶数，因为它们都是由AR(p)（自回归）和MA(q)（移动平均）模型组成的，而AR模型是要确定当前值 Yt 受到过去多少个时间点（滞后期）的直接影响，如果阶数 p 过低，可能会遗漏一些重要的滞后信息，如果阶数 p 过高，可能会引入不必要的噪声，导致模型复杂化和过拟合；MA模型是要当前值 Yt 受到过去多少个误差项（残差）的影响。选择合适的 q 值能够有效捕捉到时间序列中由随机波动引起的模式。

因此，确定p和q值就至关重要！具体原理和方法如下。

2.Answer

其实确定p和q的方法比较简单。对已经平稳的数据进行自相关和偏相关计算，得到PACF和ACF图或者表，通过图表即可判断。关键是其中的原理如何以更简单的方式被理解，因此，在这记录，用于强化自己的理解，如有问题，欢迎看客老爷随时批评指正。

2.1 确定q的原理与方法

2.1.1 寻找q的意义和本质

q 反映了模型在做预测时，如何利用过去预测中的误差信息来改进当前预测。它并不直接看过去的数据值，而是看之前预测与实际值的“偏差”。当 q = 1 时，模型在预测今天的值时，会参考昨天预测错了多少，从而调整今天的预测。类似地，如果 q = 2 则模型会参考昨天和前天的预测误差，来修正今天的预测。

比如你预测了未来三天的天气温度，昨天你预测20℃，实际是22℃，差了 -2℃。前天你预测25℃，实际是27℃，差了 -2℃。在今天的预测中，q=2 的模型会参考昨天和前天的误差（都是 -2℃），假设误差有延续性，那么今天的预测会加上这两个偏差进行调整，以避免类似的误差再次发生。

所以，q 的本质是让模型“记住”过去预测中的偏差，利用这些偏差来调整当前预测，避免同样的错误重复发生。确定 q 的过程就是在寻找滞后多少阶的偏差（误差项）对当前值有显著影响。

2.1.2 MA模型的计算公式

在Question中，我提到是MA模型需要确定 q 值，确定 q 值的核心在于找到当前的值 Yt 和之前多少个误差项（即误差的滞后项）相关。因此，MA模型的公式主要围绕当前值和过去的误差项展开：

冷冰冰的公式如何理解呢？这里我们举个简单的例子，草履虫都能懂的那种。

假设我们观察到最近几天的销售情况如下：

我们用MA(2)模型预测今天的销售额，利用前两天的误差 +10 和 −5。根据 MA(2)模型，今天的销售额可以通过前两天的误差项来计算：

假设我们已知：平均销售水平 μ=98 元，系数 θ1=0.6 和 θ2=0.4，表示昨天的误差对今天的影响比前天的误差大。则今天的预测值（不考虑今天的误差项）为：Yt = 98+0.6×10+0.4×(−5) = 102，所以，今天的销售预测值为102元，它是基于前两天的误差项计算得出的。

至于这里的参数θ如何求解，本人也不是很精通，但是大概知道是如何求解的（因为MA模型可以通过计算转换为AR模型，而AR模型的参数可以用OLS或者Yule-Walker 方程等求解，所以可以求得参数θ）。

2.1.3 通过ACF图确定q值

详细的ACF计算公式参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/430503143，因为MA模型需要寻找滞后多少阶的偏差（误差项）对当前值有显著影响，这就可以转换为滞后多少阶的数据和当前数据有相关性，这样就可以利用当前数据和滞后时期的数据组成数据对，放在ACF公式中计算相关性和显著性。如果显著相关，表明滞后多少阶的数据和当前数据有相关性，也就意味着滞后多少阶的偏差（误差项）对当前值有显著影响。自然就找到我们需要的q值！

我们通过软件或者代码很容易得到ACF图，比如这里我们用Python示例时间序列数据绘制出一张ACF图：

在这个图中，阴影部分为置信区间，一般是95%的置信区间，它显示了在滞后阶数上，相关系数是否显著。

我们可以观察到滞后1或滞后2的相关（实际上来源于误差项的滞后影响）系数较大且显著偏离0，到滞后3的自相关就不显著了，相当于自相关系数和0没有区别。所以我们可以确定q值为2。

2.2 确定p的原理与方法

2.2.1 寻找p的意义和本质

在时间序列分析中，寻找p（AR的阶数）是为了确定当前值 Yt 受过去多少个时间点的数据直接影响，注意这里是直接影响！即找出与当前值显著相关的滞后数据。也即当前状态与过去哪些时刻有显著关联。

在 AR模型中，当前值 Yt​ 是过去 p 个滞后值的线性组合（我个人认为不一定就非要是线性模型，只是用线性模型比较简单直接），因此 p 的大小决定了模型参考的历史范围。寻找合适的 p 值可以帮助我们捕捉时间序列中的直接相关性，而不会引入过多无关的滞后数据点，保持模型的简洁和有效性。过小的 p 值可能导致欠拟合，无法捕捉到重要的历史信息；过大的 p 值则可能导致过拟合，引入不必要的噪声。

所以，p的本质是衡量时间序列中当前值对过去数据的直接依赖程度。确定 p 的过程就是在找滞后多少阶的历史数据对当前值有显著影响。

那这里和q有什么区别吗？在2.1.3中，我们说到q可以转化为寻找滞后多少阶的数据和当前数据有相关性，这种相关性不管是直接的影响还是间接影响，但是p是希望找到直接影响，我们是希望剔除通过中间项传递的间接影响的。

2.2.2 AR模型的计算公式

参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/581510541

定义：对于时间序列，一个值得研究的问题是：Xt与时刻t之前的数据是否有关若存在关系，自然的想法是建立Xt与时刻t之前的数据之间的模型，以此来预测将来时刻的取值。

这里很好理解，不过多赘述。

2.2.3 通过PACF图确定p值

时间序列中的前后数据是会存在关系的，比如我们用ACF那种方法计算Yt和滞后两期Y(t-2)的数据相关性，这种相关性不仅包含Yt和Y(t-2)的直接关系，还会包含通过 Y(t−1)传递的间接影响（意思就是Y(t-2)会影响Y(t-1)，而Y(t-1)又会影响Yt）。所以，偏自相关系数就是用来求解Y(t-2)对Yt简单直接影响。求解方法就是，当滞后几阶，我们就建立几阶多元回归。

将时间序列与滞后时期以及之间的所有数据组成数据对，放进去计算，到这里就是我们熟悉的地方了，直接用OLS求解参数即可。当然还有什么Yule-Walker, Burg"s method, Levinson-Durbin方法求解参数（这些方法本人都不会，只会OLS）。

然后我们通过PACF图判断参数的影响以及显著性即可得到p。

通过这张PACF图，很明显当滞后1期或滞后2期的参数都是有显著影响的，当滞后3期的时候，当前时间数据和滞后3期数据之间的直接关系就不显著，表示和0没有区别。

所以，p值可确定为2

3. Reference

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/430503143

[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/581510541

[3] chatgpt 4o