一个放置充分长时间的发射子弹植物，面对一个早已存在于场上的僵尸，于任何一个时间点，考察其距离下一次触发子弹发射倒计时的时间点（不包含当前时间点）的时长x服从的分布律，称为初次攻击分布。该分布律只与植物自身的攻击间隔有关。（注意上述为初次攻击分布的第一种表述）

用马尔可夫链来解决这个问题。“任一个时间点距离下一次触发子弹发射倒计时时长”对应的就是马尔可夫链的一个状态；每cs发生一次状态转移，而且仅与前1cs的状态相关。求这个所谓的初次攻击分布，也即求给定的初始分布下的极限分布（如果存在的话）。

初始分布是什么样的

以豌豆射手为例，其刚刚被种下的第0cs初，其生产物品倒计时内存值被等概率设置为0~150，但是pvz会将初始时刻的0视作1进行处理。因此实际上此时的初始分布是如下的向量：

1cs的概率会是其他概率的2倍（包含了内存值0与1两种情况）。

状态转移的方式

每过1cs内存值减1，当内存值减为0时，它会瞬间以等概率设置为136~150间的值，即第1cs时向量变为

状态转移矩阵

内存值大于1（对应2cs~150cs），下一cs便减1，也即 x_i → x_{i-1} , i>1 的转移概率全部为1。

内存值等于1，下一cs首先变为0，之后等概率变为136~150某值，也即 x_1→x_i , 136 ≤ i ≤ 150 的概率全部为 1/15。

容易写出状态转移矩阵（与一般的记法转置，原因是我前面分布向量写成列向量了）：

容易证明：该马尔可夫链是正则链。因此任意给定初始分布都趋于相同的平稳分布。

直接来考虑更一般的情况：

n 是植物最大攻击间隔，k = 最大攻击间隔 - 最小攻击间隔 + 1。对于我们讨论的植物而言，都有 k=15

于是状态转移矩阵

同样是正则链。直接求解

其中向量x表示分布，每个元素是一个概率（豌豆射手为例）：

这是一个特征值问题，求出特征向量后归一化即可。得到

它就是我们求得的初次攻击分布。

代入k=15，n=150，200，300可以得到发射类植物，忧郁菇，投掷类植物对应的初次攻击分布（重写成分布的形式）：

发射类植物（间隔136~150）

忧郁菇（间隔186~200）

投掷类植物（间隔286~300）

第二种表述：有时候初次攻击分布表述为“……包含本cs的，最早触发子弹发射倒计时的时长（以豌豆射手为例：0cs~149cs）”对应的概率分布。

可以得到相同的初始分布、状态矩阵与平稳分布。只不过现在向量x的含义变为：

即下标 i 对应的是 i-1 cs。

第三种表述：于0cs放置的僵尸，最早触发子弹发射倒计时的时长（以豌豆射手为例：2-151cs）。同理，现在x含义变为：

0cs放置的僵尸，若要在不重置前触发攻击，对应生产物品倒计时至少需要是2，对应最短的“触发子弹发射倒计时的时长”为2cs。如果0cs对应生产物品倒计时为1，且下一次不幸以1/15的概率重置为150，那么就对应最长的间隔151cs。此处也可以看出来，137cs-151cs有一部分情况是由重置了一次得到的。不过这并不影响最终的概率计算，无论是否重置，我们只关心第一次触发攻击的间隔。

上面我介绍了3种“初次攻击分布”的不同表述，它们有各自的使用条件，在使用初次攻击分布”时，务必搞清楚到底用哪一种表述。