前言

在此之前先提几嘴题外话。最近有空重新啃了数分第一册，作为小镇做题家现在也初步融入新的应试氛围（考研题）了，因此以后的专栏会既更新高中也更新大学的内容（当然性质不变，还是在闲暇之时杂谈，分享自己的一点心得和较为粗浅的理解）

对于洛必达法则，相信不少伙伴在高中都有不少听闻，以及或多或少见过如下的表情包

这是配套的一组表情包，属于是多重标准地把各个方法包括猜蒙都吹捧了一遍，大家见得比较多的应该就是左下方的洛。这些图文着实很激进，但很明显就是图一乐的。倘若基础不扎实，一用起来就会犯各种各样的毛病。其中被玩梗最多的洛必达法则，在做题时却正是容错率最低的方法！

最近在研究这个经常被拿来当反例的函数，为了让涉及的知识更好地衔接，于是考虑在此之前还是先花一篇专栏给出洛必达法则的证明。

ps:当然了，按主流的证明顺序，洛必达法则的介绍在第一学期的高数/数分书里是偏后位置的了。在此之前涉及了如极限、连续、可导、中值定理等前置知识，由于篇幅原因，这些前置的知识就默认读者们掌握了（），大致就是如下的证明路径：

费马引理⇒罗尔中值定理⇒柯西中值定理⇒洛必达法则

正文

前置知识：

柯西中值定理：若函数f(x)与g(x)满足：

①都在[a,b]上连续

②都在(a,b)内可导

③在(a,b)内，g(x)≠0

则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得

通俗地讲，也就是在开区间(a,b)内存在一点ξ，使得该点处二者的“瞬时增长率”之比f'(ξ)/g'(ξ)等于二者在[a,b]上的“平均增长率”之比

另外，书上还给了柯西中值定理的一个几何意义（参数曲线），不过那个几何意义对接下来的证明没太大帮助，这里就略去了。

由于篇幅原因，对于洛必达法则，以下只证明x→x₀时的"0/0"型的情况

洛必达法则(0/0型)：已知函数f(x)与g(x)满足：

①都在(x₀-δ,x₀)∪(x₀,x₀+δ)内(即x₀的一个去心邻域内)可导且g(x)≠0

②

若(存在)，则

以下是证明过程，尽能力掌握，实在不想看证明可以跳到后面看应用。By the way，应用也是很让人头大的哦（

证明思路：见到f/g和f'/g'形式，联想到柯西中值定理，于是考虑构造辅助函数对f(x)和g(x)在x₀处作连续延拓（补充定义使其连续）：

辅助函数满足：在x₀去心邻域内的信息分别与f(x),g(x)相同，而在x₀处补充函数值0，这样一来这俩辅助函数在x₀处就都连续了

于是对右半去心邻域内任意取定的x∈(x₀,x₀+δ)，在[x₀,x]上由柯西中值定理得：

∃ξ∈(x₀,x)，使得：

  (*)

第一步和最后一步是由于在x₀去心邻域内的信息分别与f(x),g(x)相同，因此可以换回用f(x),g(x)表示

第二步到第三步相当于分子分母都减0，代换成补充定义处的函数值，凑成柯西中值定理的形式；

第二步到第三步是对俩辅助函数在[x₀,x]上使用柯西中值定理

当x→x₀+时，由于ξ介于x₀与x之间，因此由夹逼准则知ξ→x₀+，即

ps:由于在去心邻域内x不论取何值，总能找到一个满足条件的ξ（可能不止一个，但只要选取其中一个就行），于是一个x可以对应一个ξ，这样就可以形成一种函数ξ(x)，即ξ可视为关于x的函数

于是对(*)两边取极限得：

接下来求解右边这个极限

记，则可视为复合函数

由以及已知条件

ps:将已知条件的极限中自变量x换为t表示，内核是不会改变的，毕竟x和t只是一个代号。大家熟知的“定积分与积分变量的记号无关”也是这么一回事

由第一复合法则可得：

从而

对于的情况（即x位于左半去心邻域的情况），只需将上述过程中的闭区间[x₀,x]改为[x,x₀]，右极限改为左极限即可，同理得

再根据极限存在的充要条件（左极限=右极限）可得：，结论得证

对于∞/∞以及x→∞的类型请参考该证明过程自行推导，以下给出一般的结论：

洛必达法则：已知函数f(x)与g(x)满足：

①都在内(即x₀的一个去心邻域内)可导且g(x)≠0

②

若，则

解读条件：前两个大前提相对比较好判断，①是保证分子分母在趋于的过程中导函数要存在（毕竟求极限的先决条件是在去心邻域内有定义嘛）

②是分子分母先分别求极限，以识别是否是0/0或∞/∞型未定式

最让人头大的是最后这一句“若...则...”

首先这是单向的推导，即

也就是“洛完之后的极限存在”能推出“原来的极限存在并且与之相等”

这个单向的推导暗含的两个易错点：

易错点(1)：不能反过来推（即不能由右边推左边）。毕竟原极限可能压根就不是0/0或∞/∞型的未定式，犯(1)这个错误大概率就是你连大前提②都还没判断就开洛了，这样硬洛就是纯属瞎来了

易错点(2)：若不满足条件（即洛完后的极限是震荡形式的不存在），则原极限是否存在无法判断，此类情况称之为洛必达法则失效

(2)这种情况跟易错点(1)性质不同，(1)是只要你遵循了①②这两个大前提，那完全可以避免的。(2)则较难避免，只能靠一些练习来积累经验以提早回避，一般就是出现x*sin(1/x)这种“无穷小*有界”类型时要下意识回避使用洛必达了（后面会配有练习加以巩固）

小试牛刀：

例[1]：求极限

在去心邻域内，分子分母都可导且分母不为0，满足①

x→0时分子分母都→0，属于“0/0”型未定式，满足②

因此本题是符合洛必达法则的使用前提的，这时对分子分母分别求导得：

如果这个极限存在，则原极限也存在。这时我们就把求极限的“希望”寄托于它(洛完后的这个极限)啦

这时还不太好判断，于是考虑继续洛。

经判断这个新的极限仍然满足①和②，因此可以继续洛：

注意到此时把常数提出去后就是第一个重要极限，于是

终于，最后的这个极限没有辜负期待，于是有：

而做题时我们一般都是直接用等号“=”连接，即

这个式子是成立的，但需要注意成立的逻辑。对于这个式子而言，=的“传递性”是利用最后的-1/6构建起来的，换而言之是判断出极限为-1/6才将前面的式子串起来。

而做题时的真正的逻辑是像前面的⇒那样，洛到的最后一步发现极限存在，于是反推前一次的极限存在，以此一步步推回得到原来的极限存在。这个逻辑链条务必梳理清楚！

就好比使用极限的四则运算：

等号是由最后的结果构建起来的，这个细微的差别容易被等号的“平等”所掩盖，毕竟本质上我们是先判断出拆开后的极限分别存在（满足极限四则运算法则前提），才推出拆开前的极限存在，即

这个推导⇒是单向的。前面的洛必达也是同理，每一步的“=”都是根据最后的结果构建起来的。中学时期写下的=几乎都是顺着推的，而=的传递性还可以用于逆着推，比如上面两个例子，这时就需要对每一个定理的充分性和必要性有深刻的认知才能保证每一步写“=”的正确性了。

再比如

由，拆开后没有保证极限都存在，那么下式的“=”就不能保证正确性

毕竟等号是由结果构建起来的，而在求出正确结果之前，自然得先保证每一步推导都充分嘛！

因此做极限题，每写下一个“=”都要慎重考虑使用的定理条件充分性和必要性

例[2]：求极限

易知满足①②，于是将求极限的希望寄托于：

现在知道为什么我说“寄托于”了吧，因为前后要用“=”连接，得先判断出洛完之后的极限存在才行，在没判断之前是不能用“=”连接的

洛完仍然满足①②，进一步将希望寄托于：

洛完还是满足①②，再进一步将希望寄托于：

这个时候就是定型了，初等函数在定义区间连续，因此将x=0代入即得极限值：

最后这个极限没有辜负期待，于是逐步回推得：

从而每个式子极限值都为1/3，因此传递性有了保证，可以用等号连接：

我们在卷面是这样的书写过程，但实际求极限的逻辑是前面的不断“寄望”，当判断出最后一步极限存在，才能把逻辑链条串起来，也才能保证“=”连接的正确性

通过这例[2]，我们发现，当分子分母比较复杂时，求导的工作量也跟着增大。这说明洛必达法则在计算方面运算量是比较大的，适合处理分子分母都较为简洁的一些“小怪”

当然，计算量大还算不上洛必达法则的缺点，下面这道例[3]才是真正让人头大的失效例题

例[3]：求极限

易知在去心邻域，分子分母都可导，且分母不为0，满足①

分子为无穷小*有界=无穷小，极限为0。分母极限也为0。满足②

于是将求极限的希望寄托于：

毕竟现在只是“寄望”嘛，还不能用等号连接。接下来看洛后的这个极限是否存在。

其中cosx→1,2x*sin(1/x)→0，而cos(1/x)震荡，因此导致整个极限是震荡形式的不存在，此时就是洛必达法则失效场面！

既然失效，因此下面的等号就不成立了

此时“寄望”失败，最后一步极限不存在，无法把逻辑链条串起来，也就不能保证“=”连接的正确性

最后这个极限辜负了期待，那么接下来咋整呢？只好换用其他方法

ps:失效不是处理过程有失误的问题，而是这个法则本身的“体制”问题，也就是说洛必达法则处理不了这个“震荡怪”

正确解法是分母用等价替换sinx~x然后"无穷小*有界=无穷小"即得

分析“失效”的原因

对于上文的例[3]，洛必达法则失效了。而这波失效并不是不遵守条件导致的，那么究竟是什么原因导致的呢？这就得回到这个法则本身的“体制”上来分析，也就得着重分析洛必达法则的证明过程！

证明过程前文有了，这里再简述一遍：

构造连续延拓后的辅助函数：

则辅助函数在x₀处连续

∀x∈(x₀,x₀+δ)，在[a,x]上由柯西中值定理得：

∃ξ∈(x₀,x)，使得：

  (*)

由ξ介于x₀与x之间，因此由夹逼准则知ξ→x₀+，即

ps:由于在去心邻域内x不论取何值，总能找到一个满足条件的ξ（可能不止一个，但只要选取其中一个就行），于是一个x可以对应一个ξ，这样就可以形成一种函数ξ(x)，即ξ可视为关于x的函数

于是对(*)两边取极限得：

到此为止都没有任何问题，接下来标高亮的地方就要引起重视了！高亮的地方要引起重视了！高亮的地方要引起重视了！（重要的事情说三遍）

记，

由以及已知，由第一复合法则可得：

从而

关键就在于如何解读“”与“”之间构建起的关系

首先和表达的意思是一样的，因为极限值只与自变量的趋向以及函数有关，这里x和t只是自变量的一个代号（所谓的“定积分与积分变量的记号无关”本质上也是这回事）

这里求实际上求的是一个复合函数的极限

内层极限：

外层极限：

如果A是震荡形式的不存在，则复合函数的极限可能存在也可能不存在，以下就是(单独外层极限不存在)但(复合后极限存在)的反例：

内层函数t(x)：

外层函数y(t)：y=sin(1/t)

则满足：单独内层函数极限

单独外层极限不存在

但复合后的函数表达式为：，这是一个关于x的常值函数，因此

对应到图像上，也就是让中间变量t始终取到1/π,1/(2π),1/(3π),...这些值，那么如何构造符合这种条件的内层函数呢？只需让x在趋于0的过程中，取与x最接近的那个1/(kπ),k∈N*值作为t值即可。比如当x取1/5时，而1/(2π)<1/5<1/π，因此可取t=1/(2π)为中间变量在此时的值，则sin(1/t)=sin(2π)=0

以此类推，便可以保证在x→0的过程中复合函数这个整体收敛

而洛必达法则失效的情况，正是碰到了这种复合函数，也即：单论内层函数收敛，单论外层函数震荡发散但总的复合函数又是收敛的情况

或者说，洛必达法则是求极限的充分条件，根本原因在于极限的复合法则也是求极限的充分条件。

什么叫充分条件？就是“如果满足条件p，则有结论q，即p⇒q”

而如果不满足条件p，那么结论q有可能成立也有可能不成立，即

洛必达法则也是如此，“洛完后的极限存在”⇒“洛之前的极限存在”

“洛完后的极限不存在”“洛之前的极限存在/不存在"

前文列举的有几道“辜负期待”的题就印证了这一论断

简提一下极限的复合法则(口诀)：

第一复合法则：内接近，外收敛⇒复合函数极限存在

第二复合法则：内收敛，外连续⇒复合函数极限存在

而内接近，外震荡发散复合函数极限存在，这也就是上述反例给出的论断了

有关两个极限复合法则的证明，由于篇幅原因这里就先告一段落了，前不久刚好在某乎水过一遍证明，需要者可以复制链接到浏览器进行阅读：

https://www.zhihu.com/question/661949756/answer/3600226885

简单总结&后续安排

本篇文章主要给出了洛必达法则的证明以及其应用，并分析了某些时候“失效”的原因。这是一块较难啃的骨头，希望本篇(枯燥的)文章能给读者们带来一点更深刻的认识，并且得配合适当的例子练习不断纠错并加以巩固，才能真正掌握这一方法。

另外，以下的几道习题（含答案）供感兴趣的读者进行练习，解析会在下一篇专栏分享出来，且听下回分解~

例(1)：已知m,n均为正整数，函数f(x)的n阶导连续，即连续，且x₀处的函数值和1~n阶导均为0

注：除此之外没有附加其他任何条件

另外，别问为什么用文字描述了，问就是插入图片数量(公式纳入图片范围)超过阿b专栏限制了

讨论能否使用洛必达法则？

答案：

①若m≤n，则可用m次洛必达（一直洛到底）

②若m>n，则不能使用洛必达法则（洛一次都可能会出错，即“辜负期待”）

存在，且x₀处的函数值和1~n阶导均为0

注：除此之外没有附加其他任何条件

讨论能否使用洛必达法则？

答案：

①若m≤n-1，则可用m次洛必达（一直洛到底）

①若m=n，则可用m-1次洛必达+1次导数定义（前面用洛必达，而最后一次要用导数定义）

②若m>n，则不能使用洛必达法则（洛一次都可能会出错，即“辜负期待”）

ps:这是up主心一学长的视频

【彻底永久解决】洛必达究竟能洛到多少阶？【结论直接用】【目标120必看系列】

里的结论，感兴趣的小伙伴可以先尝试自行证明哦~

最后以一张新的表情包结论这篇将近五千字的专栏

开头的那张表情包是不切实际的，仅图一乐之用，以下才是考生用洛必达求极限时的现状：