高等数学学习总结(第七章)——二阶常系数线性非齐次微分方程特殊题型的复数解法

设有一个二阶常系数线性非齐次微分方程。

其中f(x)一般有两种形式。

二阶非齐次方程求通解,需要求它的齐次方程的通解,再求一个它的特解做和即可。

一般形式1的方程特解比较好设,计算比较方便。

 

形式2的方程如果f(x)仅包含一个三角函数,则其可以转化为形式1 的方程设特解。

转换方法:利用欧拉公式

如果f(x)仅包含cos,则为其补齐虚部。求出特解结果后,保留解的实数部分即可。仅包含sin同理,补齐添上i并补齐实部,最后舍弃实部即可。

例1

解:

成功变成形式1的微分方程。按照形式1的解法来做。

先对齐次方程求通解

再设非齐次方程的特解:

假设这里是特征根,只需要特解乘以一个x就行。

对设的特解求导。

将解出的方程带回,再用欧拉公式还原回三角函数。

结果保留实数部分。

最终所求的通解为:

例2

解:

求其次方程通解:

设特解:

对设的特解求导

代入方程求特解

以上,二阶常微分方程复数解法。


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