6÷2(1+2)到底等于1还是9?

作者:David Linkletter

翻译:loulou

审校:Nothing


当您计算时会得到什么结果?它看起来只是个简单的算术,但在社交媒体上关于它的讨论却在不断传播。这个问题已经传遍了社交媒体的每个角落,数百万人给出了两个常见的答案:1和9。

你可能认为其中一半人是对的,另一半人需要再好好学习算术。双方的受访者都信心十足地为自己的答案辩护。关于这个问题还没有正式的论文或者书籍给出答案,但是越来越多的数学家出面解释为什么会这样:6÷2(1+2)不是一个定义明确的表达式。

良定义是数学中的一个重要术语。它本质上意味着某个输入总是产生相同的输出。所有数学老师都同意

以及

额外的括号(方括号)消除了歧义,这些表达式定义明确。大多数其他的常见的数学问题,比如

 都有明确的定义,有一个正确的答案和一个(或多个)常见的错误答案。但是计算算式 6÷2(1+2)的值是一种习惯问题。答案1和9都不对:这取决于你从数学老师那里学到的是什么。

数值运算的顺序由各种四则混合运算法则PEMDAS、BODMAS、BIDMAS和BEDMAS给出:

P(或B):先计算括号(方括号)内表达式的值;

E(或O或I):接下来计算指数(阶/指数);

MD(或DM):下一步进行乘法和除法,从左到右计算;

AS:最后进行加法和减法,从左到右计算

世界各地对四则混合运算法则有两种稍微不同的解释,而四则混合运算法则悖论凸显了它们之间的差异。两者都同样流行,目前世界范围内还没有公认的标准。因此,你们可以停止在微博朋友圈上的辩论了,放心吧,你们每个人都可能正确地记住了所学到的东西——只是你们所学到的东西不同而已。


两种答案

站在“9”这一边的人,如在这个问题上最受欢迎的YouTube视频中所回答的运算过程——他们倾向于这么计算:

或者:

这些人认为,任何时候a(b)都可以替换成a×b。可以归结为:“a(b)总是等同于a×b”的这一认知决定了四则混合运算法则悖论的答案是9。

而从“答案1”这一方的阵营看,有些人是这么计算 的:

而另一些人指出按照分配律:

这么计算的原则是,并列的算式中隐藏乘法优先。这应该在世界各地的数学课堂上教授过了,而且在一些编程中也是一种约定俗成。所以这里,“a(b)总是等同于 (ab)”这一认知决定了四则混合运算法则悖论的答案是1。

从数学上讲,“a(b)总是等同于a×b”,并且“a(b)总是等同于 (ab)”,这是矛盾的。因为通过前面的计算,会得出1 = 9。产生这样的矛盾是合乎逻辑的,只是说明我们不可能同时拥有两个答案。它还说明,这两种解释都不是四则混合运算法则固有的。它们都附带了一些微妙的附加规则,这些规则决定了如何处理语法上的奇怪之处,比如6÷2(1+2),因此,如果接受它们中的任何一个,就会得到一个正式的数学结论,也就是说6÷2(1+2)没有得到明确定义。这也是为什么你们不能以一种令人满意的方式“纠正”对方:因为你们的方法在逻辑上是不兼容的。

因此,分歧可以归结为:“a(b)总是等同于a×b?”,还是“a(b)总是等同于 (ab)?”你不能两者都说。

在实际操作中,许多数学家和科学家对这个问题的回答是“语法不清楚,需要更多的括号”,并解释为什么它是模糊的,这基本上才是正确的答案。一张图片显示了两个不同的卡西欧计算器同样输入6÷2(1+2),并显示了两个不同的答案。虽然“语法错误”可能是计算器对这个问题给出的最佳答案,但他们试图调和歧义也是正常的,这没什么大不了的。但是对于我们人类来说,在注意到世界上很多人分别遵循这两种约定之后,我们不得不得出这样的结论:6÷2(1+2)目前还没有定义好。


对两者的支持

事实上,谷歌、Wolfram和许多计算器的答案都是9。这里计算器的答案当然是由他们的输入法决定的。显然,计算器并不是四则混合运算法则悖论的最佳判断工具。它们只是反映了当前在这个问题上的分歧:计算器程序员在很可能意识到了这个确切的问题,并且已经知道它在世界范围内尚无标准化,所以如果数学老师都统一给出一个答案,那么这些程序员就会跟进。

考虑Wolfram Alpha,它是一个提供答案引擎的网站(类似于搜索引擎,但它不提供网页链接,而是提供查询的问题的答案,尤其是数学查询)。它对6÷2(1+2)查询结果为9,对6÷2x的查询结果是3x,并将y=1/3x解释为穿过原点斜率为1/3的直线。从编程的角度来看,这三种方法都是一致的,但是对于许多观察者来说,后两种方法有点奇怪。通常,如果有人写下1/3x,他们的意思是,如果他们的意思是,对于

他们会写下x/3。

相反,在Wolfram Alpha中输入y=sin 3x,得到的是正弦函数y=sin (3x),而不是斜率为sin 3的直线。这个例子与前面的例子不同,它遵循了“3x等同于3乘以x”的规则,以便更好地捕捉输入的明显意图。Wolfram只是一种算法,无法搞清楚凭人类感觉输入的东西的意义。有点像我们的大脑。无论如何,6/x3的输入被理解为“6/ x³”,因此Wolfram显然不是纠正丑陋语法的权威。

在“1”方面,拥有物理学学位的数学教师珍妮·戈汉姆(Jenni Gorham)最近制作了一段优秀的视频,解释了几个支持这种解释的真实例子。她指出,在许多情况下,科学家把a/bc写成

的意思。事实上,你会在化学、物理和数学课本上找到很多这样的例子。戈汉姆女士和我曾就四则混合运算法则悖论进行过讨论,她正式表示这个问题定义不明确,同时还指出,为了计算器编程,需要达成一致约定。她认为,一致的答案应该是1,因为在世界上大多数国家,在这些正式语境中,并列算式中隐含乘法的优先级一直是惯例。


总结

应该指出的是,约定不需要统一。如果我的两个学生争论最小自然数是0还是1,我不会说他们中的任何一个是错的,也不会对全球在这个问题上缺乏共识表示异议。Wolfram知道这个惯例被分成两个答案,生活还在继续。如果每个关心这个问题的人都知道四则混合运算法则悖论也有两个流行的答案(因此它本身并不是一个定义明确的数学问题),那么这应该是令人满意的。

希望在阅读了本文之后,您能够满意地理解一个看起来如此基础的问题是如何遗留下来的。在现实生活中,你应该使用更多的括号,避免歧义。希望世界各地的数学老师在这个惯例上出现分歧不会给大家带来太大麻烦,因为这并不罕见,也不是真正的问题,除了计算器程序员。

原文来源:

https://plus.maths.org/content/pemdas-paradox


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