欧拉公式

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欧拉公式

在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉定理 ,它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ,后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ,我们称其为欧拉定理 ,在国外也有人称其 为 Descartes定理。 

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

用数学归纳法证明

( 1)当 R= 2时 ,由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ,赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ,下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

由说明 2,我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ,使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ,地图上只有 m 个区域了;在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ,若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 ,则 该顶点保留 ,同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ,则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况:

①减少一个区域和一条边界;

②减少一个区 域、一个顶点和两条边界;

③减少一个区域、两个顶 点和三条边界;

即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不 论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ,就又成为 R= m+ 1的地图了 ,在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。

因此 ,若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ,则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。

柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明,由20岁的柯西给出,大致如下:

从多面体去掉一面,通过把去掉的面的边互相拉远,把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性,可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是,点,边和面的个数保持不变,和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数)

 

 

的额外变换。

  1. 若有一个多边形面有3条边以上,我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。

  2. 除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

  3. (逐个)除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形

 

 

(把外部数在内)

 

 

 

 

。所以

 

 

推理证明

设想这个多面体是先有一个面,然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面,因此要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面,设它是n边形,有n个顶点,n条边,这时E=V,即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后,因为一条棱与原来的棱重合,而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合,所以增加的棱数比增加的顶点数多1,因此,这时E=V+1.

以后每增添一个面,总是增加的棱数比增加的顶点数多1,例如

增添两个面后,有关系E=V+2;

增添三个面后,有关系E=V+3;

……

增添(F-2)个面后,有关系E=V+ (F-2).

最后增添一个面后,就成为多面体,这时棱数和顶点数都没有增加.因此,关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

当r=0或1时式子的值为0,当r=2时值为1,当r=3时值为a+b+c。

把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式,

 

 

,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数,

欧拉公式

欧拉公式(3张)

 建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。

欧拉公式推导

欧拉公式推导(2张)



这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式,其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式

 

 

的展开式中把x换成±ix.


所以

 

由此:

 

 

 

,然后采用两式相加减的方法得到:

 

 

 

 

.这两个也叫做欧拉公式。将

 

 

中的x取作π就得到:

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

设△ABC的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,又记

欧拉公式

欧拉公式(3张)

 外心、内心的距离OI为d,则有


(1)式称为欧拉公式。

为了证明(1)式,我们现将它改成

(2)式左边是点I对于⊙O的幂:过圆内任一点P的弦被P分成两个部分,这两个部分的乘积是一个定值,称为P关于⊙O的幂。事实上,如图3.21,如果将OI延长交圆于E、F,那么

因此,设AI交⊙O于M,则

因此,只需证明

或写成比例式

为了证明(5)式,应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边;另一个以长2R、MI为边。前一个不难找,图3.21中的△IDA就是,D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形,所以一边是直径ML,另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。

容易证明


因此(5)式成立,从而(1)式成立。

因为

 

 

,所以由欧拉公式得出一个副产品,即

拓扑学又称“连续几何学”。

几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。 

在代数拓扑中,欧拉示性数(Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上,是同伦不变量),对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作

 

 

二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算:

其中V、E和F分别是点、边和面的个数。 特别的有,对于所有和一个球面同胚的多面体,我们有

统计学

特征函数用欧拉公式:随机变量X的特征函数定义为

 

物理学

众所周知,生活中处处存在着摩擦力,欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里:

其中,f表示我们施加的力,F表示与其对抗的力,e为自然对数的底,k表示绳与桩之间的摩擦系数,a表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。


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