大家知道现在销量最高的电子游戏是什么吗？从我们专栏的题目中来简单的二选一：俄罗斯方块。自1984年阿列克谢·帕基特诺夫从拼图中获得了灵感并将其实现在了计算机上后，这个玩法简单且休闲的小游戏就迅速的普及开来，成为现在家喻户晓的“俄罗斯方块”。
咳，不过我今天可不是来讲历史的，关于俄罗斯方块的历史，百度一下你就知道了(ಡωಡ)，而且其本名应该叫“Tetris”，由“Tetra”与“Tennis”结合而成，其中的“Tetra”，就是希腊语的“四”，没错，俄罗斯方块在数学中又叫做“四联骨牌，四格骨牌(Tetromino)”。那么三格骨牌呢？Tromino，而二格骨牌就是：Domino，是不是读音很耳熟？这就是多米诺骨牌。据传多米诺骨牌起源于中国的“牌九”，由意大利传教士从中国引入欧洲，不过这段起源大家还是在网上查查吧，肯定比我讲的详细。
现在我们顾名思义，理解一下这些名词究竟是什么意思。多米诺骨牌，又称为二格骨牌，就是由两个单位正方形边对边拼接而成的图形。同理，三格骨牌，四格骨牌就是由三个或四个单位正方形边对边拼接而成的图形，同时再往上增加正方形的个数就还有五格，六格等骨牌。那么单独一个正方形也是骨牌吗？是，这个正方形叫做单倍体，英文：Haplomino，或者直接叫“cell”也行，也有称为“Monomino”，而用两个及以上的单倍体拼接成的图形有个总称：多联骨牌(Polyomino)。
数学中对多联骨牌的研究并没有现在那些休闲玩法那般花俏，不过呢，也算是把它当作游戏看待吧。比如将一幅五联骨牌(共12个)与一个2×2的正方形拼成8×8的大正方形，专业点的叫“密铺问题”，通俗点就是“拼图游戏”。那么，我在这里提个小问题：五种四联骨牌各一块能否拼成一个5×4的矩形呢？(我觉得答案很简单，大家可以在评论区留言说说想法吧)
大家有没有注意到我说四联骨牌有5种呢？在这儿肯定有人会说：俄罗斯方块不是7种吗？还有名字呢：I，O，T，L，J，S，Z。这个没有错，因为在俄罗斯方块中，L与J，S与Z是互为左右手性的，即两者虽然全等，但在平面上不能用翻转以外的变换达到完全重合，游戏里也会因为手性的不同而产生不同的效果，所以在游戏中才将之完全区分开，但在数学问题里，除了特别规定考虑手性，其余时候都是无视手性的区别的（拓扑学的眼光），即四联骨牌就是如下五种：
好了，本篇专栏就此水完，大家下期再见(ಥ ▽ ಥ)。什么？！太水了？我就是在水专栏啊(ಡωಡ)，啊咧？掉粉警告？(っ °Д °;)っ别走别走，我还能说
上面我们提到，四联骨牌有5种，五联骨牌有12种，而单倍体，二联，三联的骨牌种类很好列举，分别是1，1，2种，而如果零个单倍体也算一种的话，由此我们得到了这样一个数列：
1，1，1，2，5，12……
大家可以在OEIS里查到这个数列哦，这个数列的代号为：A000105
通过这个网站，我们就可以查到这个数列的后续多项：
A000105：Number of free polyominoes (or square animals) with n cells.（渣渣英语翻译：具有n个方格(细胞)的多联骨牌(或方格生物)的数量）
1，1，1，2，5，12，35，108，369，1285，4655，17073，63600，238591，901971，3426576，13079255，50107909，192622052，742624232，2870671950，11123060678，43191857688，168047007728，654999700403，2557227044764，9999088822075，39153010938487，153511100594603…
那么由这个数列可知，六联骨牌的数量为35个，放图：
至于那108个七联骨牌我就不列了（画图要时间啊），但这108个中有一个非常特殊，大家猜的出来吗？而且由于n≥7的骨牌都具有这种特殊的骨牌，于是数学家们还特别排除了这种骨牌并列出了另一组数列：A000104
Number of n-celled polyominoes without holes.
1，1，1，2，5，12，35，107，363，1248，4460，16094，58937，217117，805475，3001127，11230003，42161529，158781106，599563893，2269506062，8609442688，32725637373，124621833354，475368834568，1816103345752，6948228104703…
讲到这儿，想必大家已经想到这种特殊的骨牌具有什么特点了：骨牌的内部有孔洞，所谓孔洞，即若骨牌将平面分成了不相通的两个或两个以上的区域中，在骨牌内部的区域（当然顾名思义大家都懂，但毕竟我要找一个数学方面的定义嘛），我还是上个图吧：
至于有孔洞的八联骨牌则有6个，九联有37个，十联有195个，就是拿A000105的数列减去A000104对应项后得到的数列，数列代号为A001419，大家若感兴趣可以去查一下。既然大家已经了解了关于多联骨牌孔洞的一些小知识，我不妨再多说一点吧：之前我在孔洞的定义里提到，孔洞的个数不止一个，那么大家知道最小拥有n个孔洞的多联骨牌分别是多少呢？
n=1时，就是七联骨牌，我就直接令骨牌单元数为d，即：n=1，d=7；那么n=2呢？大家试着在草稿纸上画一画吧，此时d=11；然后就是：n=3，d=14；n=4，d=17；接下来不要认为n=5时d=20哦，事实上此时d=19，大家试着找找看这个骨牌是什么样的。再接下来就是：n=6，d=23；n=7，d=25；n=8，d=28；到此为止，后面我也不得而知，是没有找到呢？还是找到了但没记录进来？反正数列A118797从第八项就戛然而止，希望接下来的发现能够交给大家吧。
讲了这么多多联骨牌关于数的方面的趣事，接下来我们从图的方向继续吧，别忘了多联骨牌本就是作为拼图而诞生的，所以几何的问题我不能不提，对吧？（以下内容均来源于百度(ಡωಡ)）
早些时候，我买了个拼图，名字叫“伤脑筋十三块”，这个拼图由12个不重复的五联骨牌与一个正方形的四联骨牌组成，而其整体外框是一个8×8的正方形（国际象棋的棋盘）。据估计，这个拼图或许有10000种以上的解法，大家有没有兴趣试一试啊，以下是我认为最漂亮的解法：
大家注意到了吗？这种拼法使得那块正方形的四联骨牌的位置正好在正中间，而且左右两边既对称，也中心对称。事实上，把四联骨牌放在正中间的拼法不止这一种，以下还有两种拼法：
我觉得你们会问了：“这只是四联骨牌在正中心时的解法，那么如果其不在中心，而在8×8棋盘的任意地方，是否都有解法呢？”答案是肯定的，英国数学家道森证明：把正方形四联骨牌放在棋盘任意位置都可有解。（要不要我每个都给一种啊？算了吧，拖得够久了(ಡωಡ)）
当然，在同样的棋盘里，我们拿掉那块正方形的四联骨牌，将其分解成四个小格，也会有很多的艺术图案哦，比如说将四个小格放在四个角落处：
除了把这些五联骨牌拼进8×8的棋盘中，还有其他的趣味题目：
一，将十二个五联骨牌拼成6×10，5×12，4×15，3×20的矩形。
二，将十二个五联骨牌分成两份，并拼成两个全等的矩形。
三，基于第二个问题，同样是将十二个五联骨牌分成数量相等的两份，不过这次的问题是：将其任意分组，都要拼成两个全等的图形。
四，三倍体问题：从十二个五联骨牌中随便选一个，再从剩下的十一个骨牌中挑出九个，拼成开始选中的骨牌三倍大的样子。
五，阶梯拼图：将十二个五联骨牌随机拿掉一个，然后用剩下的十一个骨牌拼成一个阶梯状的图案。
以上就是五联骨牌在平面中的拼图游戏，当然把每个小正方形换成小立方体后，就可以在空间上进行三维拼图了，立体的五联骨牌可以拼成3×4×5的长方体，不过我们这次还是来只讨论平面上的拼图吧。上面是五联骨牌，下面就讲六联骨牌吧：
六，我们之前提到了六联骨牌一共有35个，那么总共就有35×6=210个单倍体，你们一定会以为接下来的问题就是：用全部的六联骨牌拼成14×15的矩形吧？可惜这是不可能的，理由如图：
将所有的六联骨牌按上图方式染上黑白两色后，统计每块骨牌中黑白块的个数差，我们发现，其中有些骨牌的黑白块个数不等，都为2，即要么黑块比白块多两个，要么就少两个，如果仅仅是这样，还可以通过两个骨牌来消除这种个数差，但问题在于，两色块数不等的骨牌有11个，即总有一个无法通过其他的骨牌来消除这两个个数差，结果就是，由所有的六联骨牌拼出来的图案，黑白两色的块数无法相等，但14×15的矩形通过这样的交叉染色后，黑白两色是相等的，由此导出矛盾，所以不能用所有的六联骨牌拼出14×15的矩形，同理，如10×21，7×30，6×35，5×42等矩形都无法拼出来了。下图是我所找到的最接近矩形的拼法了：
那么有什么规整的图案可以拥有这种个数差呢？有，就基于上面这个14×15的矩形，将每一行都向右平移一个小块，形成一个台阶样的图案，就类似于由两个上面的阶梯图案拼合而成的样子：
七，咱们回到矩形的问题上来，虽然我们证明了填满矩形是不可能的，但我们可以构造特定的矩形来达成目的，比如在矩形的中心挖掉一个特定形状的空洞，比如210+5×9=255=15×17：
当然，还有210+3×5=225=15×15：
八，这个问题源自于上面我们提到的五联骨牌的三倍体问题，毕竟六联骨牌总共有35个，自然让我想到了1+9+25，然后我就想，是否可以从35个六联骨牌中选出一个，然后用剩下的34个骨牌拼成选出来的骨牌的三倍大与五倍大的样子？事实上我们通过之前提到的交叉染色法，可以很容易的排除掉那24个两色块数相等的骨牌，但还有11个骨牌无法排除，期待大家的解决哦。
以上就是利用多联骨牌进行的最基础的拼图问题，为什么说是最基础的呢？因为接下来要讲一些更深更难的拼图问题了呢。
不过在这之前，我要先提一位博客大神：Matrix67，这位大神可是写了十年的数学博客，而且每一篇博客都是数学趣题，大家若感兴趣，可以上百度查一下，毕竟以下的问题都是从他的博客中提取的(・∀・)ノ。
九，用相同形状的多联骨牌拼接完全对称图形（这个问题由数学家Claudio Baiocchi提出）
所谓的完全对称图形，指的是同时满足三种对称性质的图形（那三种？1.轴对称 2.中心对称 3.旋转对称），由于我们的多联骨牌都算是“方方正正”的，那么我们可以简单的认为：由同一种多联骨牌拼出的图形要有四条对称轴（水平、竖直、对角线两条）。
单联骨牌（单倍体）自身就是完全对称的：
二联骨牌（多米诺骨牌）就用两个拼成一个正方形：
三联骨牌有两种，我接下来就只放图吧：
四联骨牌（俄罗斯方块）：
接下来，根据已经找到的解来看，所有的五联与六联骨牌也可以拼出完全对称图形，在此我就不放图了，留给大家来拼拼看吧，有兴趣钻研的话，试试那108个七联骨牌是否也全都能拼出完全对称图形吧。
十，上面我们提到了轴对称图形，接下来我们就继续这个话题，不过这次我们要附加一些限制条件了：1.必须要用奇数个相同的多联骨牌；2.拼出来的图形必须左右对称。
由于某些骨牌自身就是左右对称的，所以这道题事实上针对的是那些不左右对称的骨牌。当然，有些骨牌是没有解的，比如六联骨牌中的“h”形骨牌，证明方法仍然可以用到上面的交叉染色法，大家就试着自己解决一下吧。
但有趣的是，这道题对所有的五联骨牌都是有解的，大家找的出来吗？
好了，以上十题就是我想与大家分享的多联骨牌几何（拼图）趣题，至于将不同的n联骨牌组合起来拼一个大型的艺术图案，恕我还达不到那种境界，下面是一位牛人用单联到七联组合拼成的钟表盘面：
还有一个加强版：
这里让我再提一点，我们上面所说的多联骨牌都是由正方形小方块组成的，而因为正方形具有密铺的性质，从而产生了这么多的拼图趣题。但我们知道，能够密铺的正多边形可不止正方形一种哦，还有正三角形与正六边形，而其对应的“骨牌”名称叫做“多联钻石”与“多联蜂窝”，我在这里就只特别地提一下六联钻石吧，其与五联骨牌一样拥有十二个不同的形状，可以拼出的图案种类也颇多，感兴趣的话可以试着做一副玩玩，挺有趣的哦。
OK，最后的最后，让我把之前欠下来的那张“证明”补上吧，别再说我又拖又水了啊，画图要时间的啦！( ￣3￣)
