（↑不要在意这个图，它就是用来撑场子的（本条五毛））
那么，如果有一个刚学几何的小学生来问你：椭圆是个被压扁的圆吗？作为数竞大佬，你怎么回答呢？
数竞大佬：23333当然不是！椭圆是：
平面内到定点F1、F2的距离之和
等于常数（大于F1●F2）的动点P的轨迹
或者是：
用一个平面去截一个二次锥面，当平面只与二次锥面一侧相交，
且不过圆锥顶点，结果为椭圆
估计回答会是这类来自人教版选修2-1（或者别的奇怪的教材）的只能让人晕头转向的定义，或许听起来这个回答更有逻辑一点：
椭圆不是被压扁的圆，因为圆只是椭圆在离心率等于1的时候的特例。
估计马上就有人来反驳你了：
去你的，我椭圆的定义（见上）里面根本就没有说离心率可以等于1！
好吧，让我们别再争吵这个问题了，但不管如何今天这里的回答却是：YES。
何以证明呢，两张图就够了：
圆那么可爱为什么要压扁她
这是一个安全无公害的单位圆，然而，接下来就是见证奇迹的时刻：
啊！不要！！！
看，这个圆真的变成椭圆了，而且它的四个顶点的坐标没有任何变化！
你TM逗我的吧
好吧，如果你没有在0.01秒内反应过来自己被愚弄了的话也许我就该放肆的笑一会了。事实上我们还可以把它拉成一个焦点在y轴的椭圆，要的只是这种操作：
没错，我们只是更改了x轴和y轴的显示比例就轻松地把圆压成了椭圆，这似乎是不是能让人想起一些类似的东西，比如——三角函数？
y=sinx的图像
y=sin2x的图像
乍一看这两张图似乎以一模一样，但前一张应该是频率比第二张少一半的正弦波，只不过把显示比例调成了2:1……现在让我们理清一下思路：
函数（方程）的变换有时是可以看做调整x和y的比例而得到的
这就是我们今天要讲的重点了：这种变换一般就被称作“伸缩变换”，当然也有叫“仿射变换”的（不过这个名字太难听了）
那么你要说了：这玩意又有什么用？我好好的一个圆你愣是把它弄成椭圆了我做个毛线题……
哦不不不不，我们用伸缩变换做的恰恰相反：是把椭圆变成圆
第一题
呃，这个题，我不知道出处是哪（邪魅一笑）
先告诉你一招最重要的：伸缩变换以后面积成比例。神马意思呢，就是如果你讲原来（x，y）的坐标系缩放成了（ax，by）的坐标系，那么在原来坐标系中面积为S是图形面积就会变为abS。
这样一来，比如说我们这题中椭圆上不规则的三角形（别被这个图糊弄了，它可只是A、B在椭圆顶点上的一个特殊情况！）根本没法求面积，但是如果我们把它缩成圆，就可以用垂径定理轻松地找到它的高了！
让我们来看看解答：
第一题的答案
实际解题的时候有一个很重要的思想：就是把变换后的坐标系想想为一个船新全新的坐标系，就像平行宇宙一样和原题目的坐标系毫无干系，我们只不过用比例关系罢了，所以在表示线段、直线、圆锥曲线的时候，统统地用带“ ' ”或是下标的符号，以示区分。
把椭圆变成半径为1的单位圆自然是最简单了，所以我们这里采用了（x，y）→（√2/2x,y）的变换，那么我们原来的三角形面积就是新平行宇宙坐标系三角形的根号2倍，问题就很快迎刃而解了。
第二题
那么，伸缩变换只能来求面积吗？
当当当然不是，它还有以下似乎显然但很有用的性质：
1、直线经过伸缩变换后还是直线
2、线段上的定比分点关系在变换后不变
比如说这个第一条吧，不就是废话吗，有什么用？！看来下面这个估计你不会这么想了：
2016河南预赛第11题
没错，这句“直线经过伸缩变换后还是直线”就是说明原来直线要是过一个定点的话，变换后的直线也过那个定点！，还等什么，赶不快给这个椭圆整容成这样：
伸缩变换之后
因为这道题椭圆长轴比较长，自然变成单位圆就很不现实，不如变成一个半径为5的圆，然后just like this↓
这个时候就要好好猜一把定点就是x轴上的那个点了！
凡是涉及什么斜率、长度之比的，变换以后一律不变，这是第二条说的，那么题目的条件我们就可以直接照搬，然后看起来繁琐的解析几何题就瞬间变成圆里面的平面几何题了：
还不如直接让椭圆消失看的更清楚点
一旦将线段M'N;的比例转化为直径AB上的比例，bingo，这道题就等于说是秒杀了！你甚至不需要设任何点的坐标、直线的方程，干什么联立韦达定理的勾当，这个时候你估计已经看到第二题的求面积了，这不正和我意！而且整个的解答就更不像解几题了：
理解这个答案，只要注意一下AF'=BG'，所以三角形AM'F'和BM'G'、三角形AF'N'和BG'N'的面积相等，以及根据F'O=G'O得到的两倍关系就是小学级别的面积代换了，这也就是为什么取一个和G‘对称的F’的原因了，当然在做完这一切后千万别忘了再乘一个0.6得到变换前的面积。
也许看过选修4-2或是知道矩阵的你（那真是巨佬，我要膜一膜）已经爆出一句：“这个就是矩阵变换”之类的话了
孤陋寡闻了吧
没错，变换坐标系其实就是矩阵的一个很通俗易懂的理解，而我们两个求面积的例子其实就是很多书上提到的“行列式”运算罢了，如果真的想要直观的理解这些恐怖的线性代数的内容，推荐你去看3Blue1Brown的视频吧（这可真不是广告！）
但是！为了不让改你试卷的各县市中学老师一脸懵b，在你的初赛试卷上还是不要出现矩阵的好，“伸缩变换”就够了吧。我们下期再见。
制图软件：GeoGebra，部分图片（表情包资源来自网络）
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