我们最早接触无限循环小数，应该是小学，我记得当时还有奥数班专门讲过如何把无线循环小数转化为分数。按照小学最初的定义，无限循环小数是因为整数除法除不尽才产生的概念，比如1除以3，永远都会留下余数1，永远除不尽。而这个永远也除不尽的这个状态，被定义在数学表达式0.3循环中，表示1/3的小数表达式。当时还小，对这个概念也没多深入理解，对于小学教的无限循环小数转分数的方法也没有多大的质疑，反而觉得方法很巧妙。具体方法大概是这样的

问，0.2535353...的分数是什么样的？

令a=0.2535353...，

则a*100=25.3535353...

则a*100-a=99*a

=25.3535353...-0.2535353...

=25.1

所以a=25.1/99

接下来把分数化为最简表达式即可。

这个方法我直到大学毕业后，有一次无意间跟别人争论时才发觉有些不对劲。这个方法最有问题的地方是，一个无限循环小数乘以10的倍数后，是否和有限小数一样，只是小数点往前移动了而已？从这里开始，我重新思考了无限小数的定义。

我查了一些资料，在数学分析中找到了答案，数学分析中定义了实数系，其中讲到有限小数的定义时，特别提到了一个规定，说的是有限小数在定义上，有两种小数表达式，一种是它本身的有限小数表达式，另外一种，则是无限小数形式的表达式，大概长这样

规定小数a0.a1a2...an=a0.a1a2...a(n-1)9...

很奇怪，为什么会有这样的规定？为什么一个有限小数会有两种表达式？

其实我们仔细看，这个规定正好说明了一个争论已久的问题，0.9循环是否等于1？按照这个规定，0.9循环是等于1的，也就是说，这个问题根本不用证明，数学分析中早有规定，他们就是同一个数。

但我还是不满意，觉得一个规定并不能尽释我心中之疑虑。

关于数系的构造，有很多的方法，都能严格定义数的概念，但我觉得严格的定义并不能让人很好的理解。我前前后后又查阅了一些资料，包括微积分在内的基础概念，后来我想明白了。我大致说下我的理解过程

1，我们先从小学数学中关于无限循环小数的推导过程出发，在数轴上找1/3这个点。首先，我们先在0和1之间的数轴进行十等分，那么可以找到1/3大致在0.3和0.4这两个点之间，然后继续，在0.3和0.4之间继续十等分，那么1/3大致在0.33和0.34之间，以此类推……我们会发现，无论我们进行多少次的十等分，我们永远也找不到1/3这个点的准确位置。

2，如果说通过这种方法永远也找不到1/3的准确位置的话，那么是否说明，0.3循环其实不等于1/3呢？但其实换一种方式，用三等分的方式，一下子就能找到1/3了。换个数学语言来讲的话，也就是十进制下，是否找不到1/3，而三进制下，就可以找到了呢？接下来是最重要的一个概念了

3，无限循环小数最根本的一个概念是，“无限”。换一个说法，无线循环小数是一个位数无穷的实数。无穷是极限的概念，这个是微积分使用的基础概念，为什么实数的构造会牵扯到极限？据我了解，极限运算虽然会用到实数，到实数的构造不应该牵扯到极限的概念，我觉得很奇怪。

4，于是我试图从别的角度试图理解这个问题，数学中还有一个重要的概念，叫做级数，如果把1/3展开，就会变成一个级数0.3,0.03,0.003,……，这是一个无穷级数，这个无穷级数的和，就是1/3(具体的级数计算过程就不阐述了)。我忽然间茅塞顿开，无限循环小数，其实可以理解为无穷级数的和。换句话说，无限循环小数其实可以算是极限的概念，虽然其极限值是一个实数，但实数构造上不能使用无穷的概念(如果我没有理解错的话)，0.3循环只是一个表达式，它真正代表的实数就是数轴上三等分后的1/3那个点。

5，对于1/3这样的十进制下永远无法除尽的分数，0.3循环是它的十进制下无限小数表达式，那么像1/2这样的点，在十进制下，有没有无限小数的表达式呢？其实也可以拆开，变成0.4加无穷级数0.09,0.009,0.0009,……的和，结果也就是0.5。这也就是刚刚提到的数学分析中关于有限小数的规定，同时也就说明了0.9循环和1的关系。

所以，用无穷级数来理解无限循环小数，是再好不过的方法。

另外最后再说几句，很多时候问题的争论，根本原因在于，基础概念不明，数学早期很多问题也是如此，最著名的就是第二次数学危机，因为对于无穷概念的定义不明乃至滥用，导致出现了既是0又不是0的矛盾概念出现。后来的公理化运动，算是彻底解决了基础概念不明的问题。