女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
老少爷们小时候肯定都玩过万花尺，就是下面这套东西。昨天，在下无意中发现了一个模拟万花尺绘画的网站（搜索inspirograph即可找到），傻傻地玩了一晚上可还行？
以下是网友们上传的一些作品，很炫目有木有？
多数人玩万花尺都是凭直觉瞎碰，但要画出上面那样的作品来，了解其中的数学原理才能事半功倍。说来也不复杂，只需要了解"圆内旋轮线"的概念就好了。所谓"圆内旋轮线"就是在大圆孔（半径R）内转动的小圆（半径r）上的一点（此点与小圆中心的距离为d）所形成的运动轨迹。
"圆内旋轮线"的参数方程如下（推导过程请自行查找）：
x = (R-r) cost + d*cos((R-r)t/r)
y = (R-r) sint - d*sin((R-r)t/r)
我们可以把它输入到数学绘图软件Desmos中玩玩，改一改R、r、d的数值，看看会出什么图案：
有了这些理论基础，我们立即开画！
先来看看当外轮半径与内轮半径呈较简单的比例关系的时候，此时会画出一些非常简单的图形，例如：
外轮=96，内轮=48，此时二者比例为2:1，形成了椭圆，随着d减小，椭圆愈发丰满。
外轮=96，内轮=32，此时二者比例为3:1，形成了三角形，随着d减小，图案愈发丰满。
外轮=96，内轮=64，此时二者比例为3：2，图案有3个角。与3:1时不同的是，随着d减小，图案并没有向三角形方向发展，而是角上的螺旋越来越大。
外轮=96，内轮=24，此时二者比例为4:1，形成了四边形，随着d减小，图案愈发丰满。
外轮=96，内轮=72，此时二者比例为4：3，图案有4个角。与4:1时不同的是，随着d减小，图案并没有向四边形方向发展，而是角上的螺旋越来越大。
外轮=105，内轮=63，此时二者比例为5：3，图案有5个角，酷似五角星。
外轮=105，内轮=84，此时二者比例为5：4，图案有5个角。与5：3时的不同之处在于，此时相邻的点逐个连接，形成了角上是螺旋的五角星图案。
外轮=96，内轮=80，此时二者比例为6：5，图案有6个角。这是唯一一种6角图案，因为6:2、6:3、6:4会化简成3:1、2:1、3:2，而6：1时并没有齿数合适的齿轮。
7个角的情况有4种，分别是：
外轮=105，内轮=30，此时二者比例为7：2；
外轮=105，内轮=45，此时二者比例为7：3；
外轮=105，内轮=60，此时二者比例为7：4；
外轮=105，内轮=75，此时二者比例为7：5：
8个角的情况有3种，分别是：
外轮=96，内轮=36，此时二者比例为8：3；
外轮=96，内轮=60，此时二者比例为8：5；
外轮=96，内轮=84，此时二者比例为8：7。
如果内外轮比例比较复杂，则形成的图案也更复杂，画很久才能完成一个图案。在此仅举1例：外轮=105，内轮=52
有了这些经验，相信老少爷们都可以轻车熟路地创作各式各样的图案了。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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