关于李永乐老师提出的物理题的一点研究

最近,李永乐老师在动态里提出了这么一个有趣的物理题:

一根竖直棍子上连接一个质量分布均匀的柔软有限长绳子,当棍子以某角速度旋转起来时绳子被甩开,求稳定时绳子的形状是什么?

而图片就是这个专栏的封面,原文地址:

https://h.bilibili.com/26544266

这里我给出自己的思路。

我们假设,棍子与绳子所在的平面中,棍子的半径是1,绳子的长度是l,单位长度质量为rho,连接点的高度为0,然后建立如下的平面直角坐标系:





这个微分方程太吓人了,求解析解,估计超出了我能力的范围。不过如果求数值解,还是可行的。具体的做法,就是把f'(x)看成另一个函数,列出对应的方程,mathematica软件求解。或者用迭代法,令 f'(t)= -g/(tw^2)开始,从t开始向前步步迭代,积分化为求和,解出f(x)每个点对应的导数,最后画出f(x)图像,利用长度为l的条件,反向解出t的值。不过有限元近似解,鉴于李老师说他已经搞出来了,我就不献丑了。

这次我给大家抛砖引玉,希望真正的数学大神能够给出解析解,也希望大家能给我这个专栏点个赞,码这些公式很累的。

本文为我原创

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