多边形建模和曲线建模是三维建模的两种主要办法。多边形建模通过调整点，线，面的相对位置，获得模型的大致形状，再添加一个表面细分修改器（Surface Subdivision Modifier），即可获得平滑效果。多边形建模的优势在于能直观地创建不规则模型。艺术家只需要不断为初始模型增加细节，从粗糙到精细，加以微调，则可不断接近所需效果。

如果模型的表面弯曲符合一定规律（如各种工业产品），多边形建模法则不是首选。人们发现，可以通过建立曲线方程，或者通过设置少数的几个控制点（Control points）的相对位置，来描述整个曲面变化，其结果会比多边形建模法更加的流畅顺滑。而通过控制点获得曲线的办法，就是贝塞尔曲线（Bezier Curve）的基本思路。贝塞尔曲线是由法国汽车工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bezier）发明，起初用于汽车车身曲面设计，后来被广泛应用到各个行业，近二十年蓬勃发展的CG产业就是受惠者之一。

绘制贝塞尔曲线，首先要确定几个控制点的相对位置，这里我们不妨先考虑二维平面上的控制点。比如现在平面上有两个控制点P0和P1，它们的坐标分别是(1,5), (5,2)。现在为这两个点建立一组以时间t为自变量的函数，t的取值范围永远在0~1之间，当t从0开始移动到1，一个活动点从P0开始逐渐移动到P1:

如果写成函数表达式，则是：

B(t) = (1-t)*P0 + t*P1

其中B(t)是活动点的坐标值，而P0或P1，代表这两个控制点的x坐标或y坐标，所以这个函数实质是两条函数：

x：B(t) = (1-t)*1 + t*5

y:  B(t) = (1-t)*5 + t*2

比如当t = 0时，点的位置刚和与P0重合；当t = 0.3 时，点的位置就是(2.2, 4.1)；当t = 1时，点则与P1重合。如果做成动图，则有如下效果。这种只有两个点的情况，称为一维的贝塞尔曲线，或者线性贝塞尔曲线。

n = 1

如果场景中有三个点呢，即存在P0，P1和P2呢？那么场景中就存在两个活动点（A1和A2），它们在t = 0时，分别与P0和P1重合，当t开始变化时，A1从P0移动到P1，A2从P1移动到P2。当t = 1时，两个活动点分别到达P1和P2。如果把A1和A2连接起来，并建立第三个活动点A3，它在A1和A2之间运动。当t = 0时，A3与A1重合，当t = 1时.与A2重合，中间时间A3就在A1和A2连线上按比例移动着，那么A3的活动轨迹就是一条曲线。此时t的最高次数为2。

n = 2

当控制点逐渐增多，可以绘制出来的曲线，就更加复杂了。但无论有多少个控制点，该函数都是以t作单变量，各个活动点随着t从0变化到1，同时从各自的起始点移动到其终点。

n = 3

n = 6

只要有足够的控制点，任何曲线都可以使用贝塞尔方法绘制。这个说法听上去很美好，但是在实际的曲线设计过程中，一条复杂的贝塞尔曲线的生成是计算高成本的（computationally expensive）。试想一下，如果要设计一条经过12个固定点的曲线，最后生成的曲线方程就是12次的（t的指数的最高次数为12），那么每次微调这些控制点位置，计算机需要重新拟合这条复杂方程式，严重影响计算效率。因此，人们就想出样条线（Spline）方法来完成点的多项式拟合。

所谓的样条线就是分段多项式（Piecewise Polynomials）。而多项式，就是自变量的次数为正整数的方程式，如y = 2x + 1，就是一个线性的方程式（自变量x的次数为1次）。当然x的次数可以为所有正整数。所谓的“分段”，就是在不同的定义域区间里面，y值对应的表达式是不一样的。因此，分段多项式一般会使用下图这种方法表示。

从编辑便捷性角度看，分段多项式较单一段贝塞尔曲线有优势，因为若需要调整曲线局部，只需要调整分段多项式里面的一条式子即可，其他式子维持不变，这样计算机不需要耗费额外资源，重新计算整条12次方的曲线方程。但现在问题又来了，样条线的每个分段，是怎样的多项式呢？比如下图这12个点，我们最容易想象到的，就是点与点之间，按顺序两两相连，每个分段多项式，都是最简单线性方程。

但是这样显然是不够的，因为这样转角尖锐的效果，不能模拟高次多项式的平滑效果。于是，计算机图形学界，达到了一个共识：

样条线的每个分段多项式，使用n = 3的贝塞尔曲线（参考上面动图）。

使用n = 3的贝塞尔曲线原因是要限定相邻的两个分段多项式，在交接点位置的一阶导数相等（斜率相等）和二阶导数相等（斜率的变化率相等），这里不作详细介绍。直观来看，就是让所有分段曲线能够平滑顺畅地连接起来，最终与单条的高次贝塞尔曲线在形状上没有区别。这里的每一个分段，就称为贝塞尔样条线（Bezier Spline）。各位熟悉的矢量编辑软件，如Illustrator，Coreldraw，inkscape，Gimp等，都是使用这个原理生成曲线，并可以通过每个控制点的把柄（Handles，实质也是控制点）来调整弯曲程度。

最后顺带提一下，Blender MG动画插件Animation nodes中，生成样条线有两个主要的节点，分别是Splines from Object节点和Spline from points节点。Splines from Object节点输出的是一个样条线列表（输出接口半透明）。这个节点里的所谓的Object，只能是贝塞尔曲线，该节点把这条贝塞尔曲线中的控制点按顺序两两分组，如P0和P1一组，P1和P2一组等，再分别生成样条线，最终形成样条线列表，输出到Spline output节点。它的逻辑，是把既有的单条贝塞尔曲线，转变为样条线列表。而Spline from points节点的逻辑则相反，它是通过输入控制点列表，（输出单一样条线输出接口为实心）。下面动图是根据n = 3的贝塞尔曲线公式，利用Animation nodes制作的贝塞尔曲线绘制动画。教程等马克有空时附上。