命题3.31：

在同一圆中，半圆所对的圆周角为直角，较大弓形内的圆周角为锐角，较小弓形内的圆周角为钝角，优弧所对的圆周角为钝角，劣弧所对的圆周角为锐角

已知：圆ABCD，其中BC为直径，点E为圆心，点A,点D在圆ABCD上

求证：∠BAC是直角，∠ABC＜一直角，∠ADC＞一直角

解：

连接AB，AC，AD，AE

（公设1.1​）

延长BA，点F在BA延长线上

（公设1.2​）

证：

∵点E为圆ABCD的圆心

（已知）

∴AE=BE

（定义1.15​）

∴∠ABE=∠BAE

（命题1.5​）

∵点E为圆ABCD的圆心

（已知）

∴AE=CE

（定义1.15​）

∴∠ACE=∠CAE

（命题1.5​）

∴∠ABE+∠ACE=∠BAC

（公理1.2​）

∵△ABC中，∠CAF=∠ABE+∠ACE

（命题1.32​）

∴∠CAF=∠BAC

（公理1.1​）

∴∠BAC是直角

（定义1.10​）

∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＜两直角

（命题1.17​）

∴∠ABC＜一直角

（隐藏公理）

∴两直角＞∠ABC+一直角

（隐藏公理）

∵∠ABC+∠ADC=两直角

（命题3.22​）

∴∠ABC+∠ADC＞∠ABC+一直角

（公理1.1​）

∴∠ADC＞一直角

（隐藏公理）

证毕

此命题将在命题3.32中被使用

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