对平面几何的欧拉公式的证明与拓展(Fuss公式)

当我在接触平面几何的欧拉公式时,我就有想法:为什么这个公式只与两圆半径和圆心距有关呢?为什么与三角形的三边长无关呢?

所以当时我就猜想了一下,以欧拉公式确定的一组圆,一定有无数个三角形内接与大圆且外切于小圆(如下图)

双心三角形

但由于当时没有这样的环境,我也就只能靠最原始的方法:画图进行简单验证,以勾股三角形为基础,画出内切圆与外接圆,然后在外接圆上随便选一点,作两条直线与内切圆相切,并交外接圆于另外两点,然后连接此两点,看是否与内切圆相切,结果当然是相切了!现在我就来证明一下吧:

首先证对任意三角形的外接圆半径R,内切圆半径r,以及圆心距d,都满足公式:R²—2Rr=d²

设有一个△ABC,其三边长分别为a,b,c,作出△ABC的外接圆⊙O与内切圆⊙I,连接A、I并延长,交⊙O于点D,连接OA,OD,如下图:

图一

我们可令AI长为x,∠OAD=∠ODA=α
∴AD=2R·cosα=x+ID
∵在△IDC中,∠DIC为△AIC的外角
即:∠DIC=∠IAC+∠ICA=∠DAC+∠C/2=∠A/2+∠C/2=∠BCD+∠BCI=∠DCI
∴△IDC为等腰三角形,即:ID=CD
∴AD=x+CD
∵CD=2R·sin(A/2),sin(A/2)=r/x
∴CD=2Rr/x
∴AD=x+2Rr/x,即2R·cosα=x+2Rr/x
∵在△AOI中,OA=R,OI=d,IA=x
∴cosα=cos∠OAI=(OA²+IA²—OI²)/2OA·IA=(R²+x²—d²)/2Rx
∴AD=(R²+x²—d²)/x=x+2Rr/x
→(R²—d²)/x+x=x+2Rr/x
→(R²—d²)/x=2Rr/x
→R²—d²=2Rr
→R²—2Rr=d²,得证

同样的,我们借用原图来证明:已知两圆⊙O(半径R)与⊙I(半径r)满足R²—2Rr=d²(R>r),取⊙O上任一点A,过点A作⊙I的两条切线,分别交⊙O于点B、C,连接BC,问BC是否切于⊙I

以同样的做法,我们可得:
ID=AD—AI=2R·cosα—x=(R²—d²)/x,CD=2R·sin(A/2)=2Rr/x
由R²—2Rr=d²→R²—d²=2Rr可知:ID=CD
∴∠DIC=∠DCI
∴∠DAC+∠ICA=∠ICB+∠BCD
→∠DAC+∠ICA=∠ICB+∠DAB
∵AD为∠A的平分线
∴∠DAB=∠DAC
∴∠ICA=∠ICB
∴CI为∠C的平分线,即I点为△ABC内心
∴⊙I为△ABC的内切圆

由此可知,因为点A是任意的,所以对于满足条件的两圆,有无数的三角形内接于外圆,外切于内圆,问题得证。

对于三角形是这样的,但我们的想象完全可以向外拓展嘛:四边形,五边形,甚至于更高边形会怎样?

让我们先看四边形,既有外接圆又有内切圆的四边形又叫双心四边形(具有外心与内心),同样的五边形,多边形也加上“双心”两字即可,双心四边形的外接圆半径R,内切圆半径r,以及圆心距d之间有什么关系呢?

由三角形的例子,我们可以任意调整其中一点的位置,我们将该点设于两圆的公共对称轴上,此时我们得到的双心四边形称为筝形,筝形是一定有内切圆的,因为其对边相加相等,而且左右对称,易证其四条角平分线交于一点,现在只要让筝形有个外接圆了,即调整角度使对角之和为180º,此时的筝形就是由两个全等的直角三角形斜边对斜边拼接而成,如下图:

图二

我们令短边为a,长边为b,外接圆半径R,内切圆半径r,圆心距为d,接下来我们列式:

(a—r)²+r²=(R—d)²——①
(b—r)²+r²=(R+d)²——②
(a+b)r=ab——③ 
a²+b²=4R²——④

由③,④式我们可得:
(a+b)²=a²+b²+2ab=4R²+2r(a+b)
→(a+b)²—2r(a+b)+r²=4R²+r²
→(a+b—r)²=4R²+r²
→a+b—r=√(4R²+r²)
→a+b=√(4R²+r²)+r——⑤

将①,②式相加,裂项,得:
a²+b²—2ar—2br+2r²+2r²=R²—2Rd+d²+R²+2Rd+d²
将④,⑤式代入,得:
4R²—2r[√(4R²+r²)+r]+4r²=2R²+2d²
→2R²—2d²+2r²=2r·√(4R²+r²)
→R²—d²+r²=r·√(4R²+r²)
→(R²—d²+r²)²=4R²r²+r^4
→(R²—d²+r²)²—(2Rr)²=r^4
→(R+r+d)(R+r—d)(R—r+d)(R—r—d)=r^4

这就是双心四边形的R一r一d公式,由于是欧拉的学生富斯(Fuss)发现的,又叫Fuss公式,不过,知名度显然没有欧拉公式高,有兴趣的人可以再推导推导双心五边形与六边形的R一r一d公式,若想直接知道答案的,就去

看看吧,希望你们喜欢。(就是本栏开头那个GIF啦,我说的真的是真话)

接下来我们反过来验证这条公式对所有双心四边形都适用:作两圆满足上公式,随便在大圆上选取一点A,过A作小圆的两条切线AB,AD,分别交大圆于B,D两点,再分别过B,D作小圆的另两条切线,证明:两条切线将交于大圆上一点C,如下图:

图三

先来分析一下,要使直线BC,DC交于圆上而构成圆内接四边形,只需∠ABC+∠ADC=180°,即对角互补,等价于β+γ=90°→tanβ·tanγ=1,那么接下来就证明上式即可。

由图可知:
AI=x,AB=2R·cos(α+θ),AD=2R·cos(α—θ)
∴tanβ=r/(AB—x·cosα)
=r/(2R·cos(α+θ)—x·cosα)
=r/(2R·(cosα·cosθ—sinα·sinθ)—x·cosα)
=r/(2R·cosα·cosθ—x·cosα—2R·sinα·sinθ)
=r/((2R·cosθ—x)·cosα—2R·sinα·sinθ)
同理:tanγ=r/(AD—x·cosα)
=r/(2R·cos(α—θ)—x·cosα)
=r/((2R·cosθ—x)·cosα+2R·sinα·sinθ)
∴tanβ·tanγ=r²/((2R·cosθ—x)²·cosα²—4R²·sinα²·sinθ²)
=r²/((4R²cosθ²+x²—4Rxcosθ)(1—sinα²)—4R²sinα²(1—cosθ²))
=1
∵由图可得:sinα=r/x
且在∆AIO中用余弦定理:cosθ=(R²+x²—d²)/2Rx
代入上式,得:
r²=[4R²·(R²+x²—d²)²/4R²x²+x²—2(R²+x²—d²)]·(1—r²/x²)—(4R²r²/x²)·[4R²x²—(R²+x²—d²)²]/4R²x²
→r²=[(R²—d²)²+2x²(R²—d²)+x^4]/x²+x²—2(R²+x²—d²)—(R²+x²—d²)²r²/x^4—r²+2(R²+x²—d²)r²/x²—4R²r²/x²+(R²+x²—d²)²r²/x^4
→r²=(R²—d²)²/x²+2(R²—d²)+x²+x²—2x²—2(R²—d²)—r²+2(R²—d²)·r²/x²+2r²—4R²r²/x²
→r²=[(R²—d²)²+2(R²—d²)·r²]/x²—4R²r²/x²+r²
看出来了吗?我在变换一下:
→r²=[(R²—d²)²+2(R²—d²)·r²+r^4]/x²—4R²r²/x²—r^4/x²+r²
→r²=(R²—d²+r²)²/x²—(4R²r²+r^4)/x²+r²
→r²=[(R²—d²+r²)²—(4R²r²+r^4)]/x²+r²
∵两圆满足条件公式:(R+r+d)(R+r—d)(R—r+d)(R—r—d)=r^4→(R²—d²+r²)²=4R²r²+r^4
∴上式左右两边相等,等式成立
反推可得tanβ·tanγ=1成立,即对角互补在此条件下成立,于是问题得证。

好了,三角形的R一r一d公式为:R²—2Rr=d²(或(R—r+d)(R—r—d)=r²)
双心四边形的R一r一d公式为:(R+r+d)(R+r—d)(R—r+d)(R—r—d)=r^4
而五边形的公式在视频中已给出,那么我就在本栏结束之前提一个更加拓展的问题吧:

三棱锥是三维结构中的基本单位吧,每个三棱锥都有一个外接球与一个内切球,那么,两球半径与球心距之间有关系吗,若有,请给出公式;若没有,请举例说明,欢迎大家在评论区留言哦(ノ゚▽゚)ノヾ(゚∀゚ゞ)

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