Heise method是一种相对小众但效率很高的魔方解法，它能在不借助任何公式、不尝试多种可能的情况下，平均在40步内复原三阶魔方（语出Sebastiano Tronto，Fewest Moves Tutorial），其思路对于魔方最少步项目（Fewest Moves Challenge，FMC）特别有借鉴意义，同时也发展出了可应用于速拧的Speed-Heise公式集（作者Matt DiPalma，详见https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Speed-Heise）。
Heise method作者Ryan Heise的网站（https://www.ryanheise.com/cube）有该法详细文字教程和一些魔方知识（包括转换机、筑块、降群原理等），以及诸多动图（是虚拟魔方播放器，不是gif动图，但本文只能用gif形式截取，因此墙裂建议访问原站，体验更佳）。目前Heise method中文资料较少，网页机翻又词不达意，于是我一面学习，一面便想斗胆做一些翻译和整理。
本系列专栏中，我将意译Heise method（下称“Heise法”）教程全文，同时夹带私货（算是学习笔记，会用蓝字标注出来的XD）。水平有限，还望魔友们多多指教～
本节将介绍一些基本的魔方理论（触及魔方的数学本质了）。理解一些魔方的基本性质将帮你判断哪些操作是可行的，哪些是不可能的，并协助你找出“更优雅的”魔方复原方法。
1. 基本定义（Basic definitions）：了解三阶魔方的结构、Orientation和Permutation
2. 魔方的法则（Laws of the cube）：了解什么是“合法的”操作及其限制
3. 对称关系（Symmetry）：一些看似不同的情形有着相同的本质
4. 群论（Group theory）：熟悉魔方的若干子群（Subgroup）及其性质
5. 循环（Cycles）：了解循环及其应用
6. 奇偶性（Parity）：了解奇偶性/奇偶校验，以及它可能导致的问题
为保证原教程逻辑畅通同时控制篇幅，本节先讲逻辑联系最紧密的第1、2、4点。Enjoy～
1. 基本定义Basic definitions
把三阶魔方拆了（不拆魔方，亦可练功），你会发现它由21个部件组成：
◆12个棱块，每块有2个颜色
◆8个角块；每块有3个颜色
◆1个中轴，有6个面（所以6个面6个中心颜色的相对位置是不可改变的，这与偶数阶魔方不同）。
下面请看这两个单词：
Orientation（n.）目标，定位；方向，朝向；（基本的）态度，倾向；（岗前、学前、课前等的）情况介绍，培训；适应，熟悉
Permutation（n.）[数] 排列；[数] 置换（摘自dict.youdao.com）
◆Orientation在魔方中指色块的朝向，也指把色向调整正确的过程（俗称O，就是OLL的O）。例如下图中白色中心块所在面，只有一个角块白色朝上，其他三个角块的色向是错误的。使用经典的7步“小鱼公式”可将色向朝整正确。
◆Permutation在魔方中指色块位置的排列，也指把位置调整正确的过程（俗称P，就是PLL的P，有时也简称Perm）。Permutation不一定要考虑色向，例如下图过程只调整正确了三个角块的位置（进行Corner Permutaion，CP），但它们色向不正确（没有Corner Orientation，CO）。
PS：下文“群论”中，Permutation同时包含色向和位置信息（为了和这里的Permutation区分，我称之为狭义Permutaion）。
鉴于Orientation和Permutation两个术语在魔方领域流传甚广、意义复杂，为了表达的准确和简明，一些句子中我将保留这两个英文单词不作翻译。还请读者记住这两个单词。
2. 魔方的法则Laws of the cube
先了解一下UP主「魔方达人夏天」这波操作的含金量！「BV17M411V7Nz」
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为什么在这里放这个呢？请看下文——
一个有趣的事实是，如果你把三阶魔方拆散后随机组装，能正常复原的概率只有1/12（正常复原，是指只通过“合法的”转动复原，即不把魔方再次拆开）。为什么呢？
（1）合法转动只能实现1/2的Permutation（这里不考虑Orientation）
事实证明，面对一个打乱的魔方，每次只拆两个棱块或两个角块下来，对换位置装上，直至魔方复原，一个合法状态的打乱一定会在偶数次“两两对换”后复原，而不可能是奇数次“两两对换”（若把偶数次的和奇数次的视作两个集合，这两个集合互为补集）。
为什么呢？且看下方例子，想象下图是三阶魔方的某个面，它顺时针转动了90度：
如果通过两两拆装对换的方式，从左边状态到右边状态等价于6次对换（角1-角4，角1-角3，角1-角2；棱块同样有3次，共6次，是偶数）。
因此每一次转动都相当于发生偶数次对换，而不断打乱就是偶数的叠加，仍是偶数。
一个拆散后随机组装的魔方，有偶数次或奇数次对换的可能性各半，因此说合法转动只能实现1/2的Permutation。
（2）合法转动只能实现1/2的EO（Edge Orientation）
事实同样证明，一次合法转动一定会改变偶数个棱块的色向；如果魔方上存在色向错误的棱块，错误的个数一定是偶数。上图的情况显然绝无可能通过合法转动复原。
但如何判断一个棱块色向正确与否？一个最常见的框架是这样：如果一个Permutation错误的棱块只通过L、R、U、D层的转动即可回到正确位置，那么这个棱块的色向就是正确的。在此框架下，L、R、U、D层的转动影响0个棱块的色向，而F、B层每次转动都影响4个棱块的色向。0和4都是偶数，因此合法转动不可能影响奇数个棱块的色向（拿起手边的魔方，只使用L、R、U、D单层转动打乱它，看看会发生什么？）。
浅浅引入一下“颜色分级”的概念。如果保持白顶绿前坐标，规定U、D面为“高级面”，白色和黄色为“高级色”；F、B面为“中级面”，绿色和蓝色为“中级色”；L、R面为“低级面”，红色和橙色为“低级色”。
对于只使用L、R、U、D层转动打乱的魔方，可以发现：每个棱块上都符合“较高级面上的颜色比较低级面上的颜色等级更高”，也就是说U、D面不可能出现红色、橙色，L、R面不可能出现白色、黄色……
读完后文的“群论”再来看这一段，会更有体会。
（3）合法转动只能实现1/3的CO（Corner Orientation）
至于角块，每个角块有三个面，也就是三个可能的色向，解释起来会比棱块稍难。让我们给角块的三个色向赋值：正确色向为“0”，相对于正确色向原地顺时针翻转一下为“1”，相对于正确色向原地顺时针翻转两下（即逆时针翻转一下）为“2”。事实证明，合法转动引起角块色向值变化量的总和一定是3的整数倍。上图中发生的色向值变化量为1，不能被3整除。
角块色向的框架是这样的：规定每个角块带有顶面或底面颜色的一面朝向顶面或底面时，该角块色向正确（简单说就是，假如固定魔方坐标，白色为顶、黄色为底，那么一个角块上的白色或黄色贴纸只要朝向顶面或底面，这个角块的色向便是正确的；再看上图“不可能”的情况，白色贴纸相对于正确位置进行了一次顺时针翻转，所以它的色向值为“1”）。这个框架下，转动U、B层不影响角块色向，色向值变化量为0；而L、R、F、B层每进行一次90度转动就会影响4个角块的色向，其中2个角块由“0”变为“1”，2个角块由“0”变为“2”，其余4个角块保持“0”色向，总和就是1+1+2+2+0*4=6，6是3的整数倍。
为什么角块色向值变化量一定是3的整数倍而不是6的整数倍呢？可以想想层先法顶层十字完成后，调整顶层角块色向时可能遇到的7种case，其中Sune的色向值变化量不就是3么？
综上所述，如果魔方是拆开随机重装的，只有1/12（1/2 * 1/2 * 1/3）的状态可通过合法转动实现。
再回去看UP主夏天的骚操作，其实是将两个棱块拆下来对换了。
4. 群论Group theory
魔方的数学本质上可用“群”的概念来理解和描述。一个群由许多元素组成，对魔方而言，一个Permutation就是一个元素（这里的Permutation包含了Orientation概念，为和上文区分，我称之为“狭义Permutation”；所以魔方的所有4.3×10^19种状态都是互异的元素）。群具有以下性质：
①封闭性（Closure）：一个群中有两个Permutation，分别是P1和P2，那么P1•P2（做完P1后接着做P2）所得结果仍在同一个群中（数学语言：对任意a,b∈G，有a•b∈G）。
②结合律（Associativity）：P1•（P2•P3）与（P1•P2）•P3结果相同（数学语言：对任意a,b,c∈G，有a• (b•c) =(a•b) •c）。
③存在单位元（Identity）：一个群中必存在一个元素是魔方的复原状态（数学语言：存在元素e∈G，使得对任意a∈G，有a•e=e•a=a；这里的e指单位元，即魔方复原状态）。
④存在逆元（Inverse）：一个Permutation的逆序也在同一个群里（可理解为某情况的逆打乱；数学语言：对任意a∈G，存在a^(-1)∈G，使得a•a^(-1)=a^(-1)•a=e）。
对魔友们而言，最有趣的性质大概是封闭性，它意味着如果只选择一个子群中的操作，魔方就会保持在这个子群的状态中。
下面是两个在各种魔方解法中都比较常见的子群：
◆#1 <U D R2 L2 F2 B2>
假如有一个这样生成的群：U、D层允许90度和180度转动，其他层只允许180度转动。如果你根据这个限制条件打乱魔方，魔方的白色和黄色贴纸一定会保持朝上或朝下，中层棱块也会保持色向正确（相当于2*3*3多米诺魔方的转动方式）。
其实这个状态正是“多米诺降群法”（Domino Reduction，DR）第一步的结果。多米诺降群法是常用于最少步数解的一种方法，也就是把完全打乱的魔方<U D R L F B>（即“乱群”：在绝对坐标系下，魔方按照任意步骤打乱后，魔方块产生变化的位置的集合——引自UP主天方魔「BV1oA411f7nD」）进行一步“降群”，变成侧面只转180度即可复原的状态<U D R2 L2 F2 B2>。
◆#2 <U D R L F2 B2>
Heise法中利用到的一个有趣的群是通过限制F、B层只允许180度转动生成的，这个群符合上文“魔方的法则”中的棱块色向框架（ZZ法和盲拧四步法也都用这个群限定棱块色向）。
再次剧透一下，Heise法流程大致是完成F2L-1——差一个空槽完成的前两层——并调整棱块色向，再复原余下部分。在调整色向之后，只要限制F、B层只进行180度转动，就能很容易地保持棱块色向不受破坏。
Ryan Heise在2002年曾研究过把计算机解魔方算法“降群法”移植为人工操作的方法，即Human Thistlethwaite Algorithm（详见https://www.ryanheise.com/cube/solutions.html）。详见本文集【番外篇】～
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