阶乘函数，相信我们不会很陌生. 对于高中阶段使用的阶乘函数（通常记为 ）的定义域为全体自然数 ，并“规定”了 .

这样的阶乘函数定义为：

由定义可知阶乘函数有以下性质：

我们将尝试由此出发. 根据阶乘的定义，我们知道对于一个 ，有：

写为连乘积形式，有：

同理，我们也有：

两式右边相等，即有：

我们为什么需要这样的一个包含了两个正整数变量的式子呢？其实是因为我们希望能借助  时极限的力量. 如果这样能够帮助化简，那么我们如果能把剩下的  给分离出来（指不在巨算符的上下界），那么把  给分离出来再换  为 ，想必就能得到关于  的表达式了吧.

可惜的是，左右两边一大串的乘法还是比较难以处理的，如果我们能有方法换成加法，那么或许有更多熟悉的极限技巧可以运用. 那么有没有一种函数能变乘为加呢？有，就是对数.

我们在这里为了方便，使用自然对数.

当  时，对于一个正数 ，，可以视为

此时我们可以利用这个性质来化简得到：

这样，就可以把巨算符上的  给成功地拿下来了. 进一步整理得：

由此，已经能看见希望了！

进而把  换成 ，就能得到我们的终极目标：

我们可以验证一下其是否符合我们先前的规定以及性质：

是符合的！至此，我们成功了.