波动方程的解有多种形式，今天推导一下三个比较常见的解——平面波解、球面波解及柱面波解。

在推导前，先声明需要使用到的知识：

1.     拉普拉斯方程的三种形式变换

2.     无界限振动问题的解——达朗贝尔解

3.     贝塞尔方程及贝塞尔函数

先给出需要用到的知识：

    1.

拉普拉斯算符的三种形式

2.

达朗贝尔解为

达朗贝尔解

3.

             贝塞尔方程：                                      

贝塞尔方程

其解为：

下面开始推导：

1. 平面波解

这个解的推动非常容易

先由波动方程

波动方程

2.球面波解

由于球面波的空间对称性，我们只需要研究从源点出发的某一方向上各点的电磁场变化即可，故

     E只与r有关，而与θ，φ无关

而r，t是相互独立的两个变量

则

该无界电磁波动问题的达朗贝尔解为

3.  柱面波

此时我们自然会想仿照球面波的求解去求解柱面波解，但是遗憾的是我们会发现这样做行不通。

最后，需要指出

    该柱面波解不是波动方程的解，原因在与其是在远场情况下的渐近解。但我们只需要知道电磁波的振幅

即可