写在前面：

        先自我介绍一下：2022年我16岁，是高二牲。突然有了一点写专栏的想法，大概算是给自己总结一些学高中数理化生的时候产生的奇奇怪怪的思路和想法之类。但是自己水平一般，可能写不出来多么深奥的问题，所以大家看个乐呵，同时欢迎和大家交流学习心得（）

        今天想说的是关于欧拉线的一种解析几何爆算的方法。

        这个定理的意思是说：对于任意一个三角形（等边除外），它的垂心H，重心G，外心O三点共线，且HG=2OG。此外，三条高的垂足K，J，L，三边中点E，F，I，和AH，BH，CH的中点D，M，N九点共圆，圆心P是OH的中点。

欧拉线

        初中的时候我就听说过这个定理，但是水平不够，自己想几何证明没想出来，于是换了一种思路用建系爆算，证了出来。过程如下：

        为了方便计算，我们以外心为原点建立坐标系，同时设三个顶点，，.

        对于重心，通过我们容易得到它的坐标是（方法很多，而且这是一个常用结论）.

        对于垂心，先设它的坐标是.  由于，则

.

同时，两点均在圆上，得到

.

比较两个等式的最左边，得到

，

其中，，都表示一个比例.  同理，

，

，

继续比较，可以得到

于是垂心.

通过上述求得的坐标，我们不难发现，O，G，H三点共线，且HG=2OG。然后证明九点共圆，这里先推出过其中M，I，J三点圆心为P：

        经过上述推导，我们可以继续写出点的坐标，.  且.  可知过，，三点的圆的圆心即为的中点，恰好也是的中点，这一圆的半径是，即九点圆的半径是外接圆半径的一半.  同理可得另外两个圆，它们的圆心重合，半径等长，那么可得到九点共圆。