真空能和Casimir效应
摘要
这个项目的主要目标是建立对量子场论(QFT)的基本理解。
这次演讲的重点是回答一个问题:"为什么真空中两个平行的导电板会相互吸引"
答案就在于真空并不是真正的“空”。
这个现象最早是由H. G. B. Casimir在1948年预测的。
大约50年后，这种现象被证实是真的，现在被称为“卡西米尔效应”。
两理想导电平行板悬浮于真空中，相距很小
00:52 水波的类比演示
2.历史
1930年，P.A.M.Dirac提出了真空的理论模型，认为真空是一个无限负能量的“海洋”
在正电子被发现的两年前，他就正确地预测到了正电子的存在狄拉克海
1948年，卡西米尔利用量子力学研究了可极化分子和导电板之间的“范德华力”。
他推测，当两块(不带电)金属板非常接近(几十纳米)时，就会产生“两块(不带电)金属板之间的引力”。
这被解释为“电磁波的零点压力”，由真空自发产生。
最初验证Casimir效应的实验都失败了，因为很难得到完美真空中完美平行的完美导电板
3.实验分析
1997年，S. K. Lamoreaux和耶鲁大学的研究人员使用镀金扭摆在卡西米尔最初预测的5%精度范围内测量卡西米尔力。
一年后，U. Mohideen和A. Roy进一步进行了实验(见图)，测量了一个球在悬臂上的位移。他们测量到的力约为1.6 × 10-12牛，这与卡西米尔的理论仅相差1%。
该结果已被复现，并被至少三个其他实验进一步验证。
"一个年轻的理论物理学家的职业生涯包括对谐振子进行越来越抽象的处理。"——西德尼·科尔曼
4.一切都是谐振子
对于一个保守力
在一维中:
这给出了质量m的位置函数x= x(t)的运动方程
但是如果m从平衡中偏移了小量，那么势能可以泰勒展开为
如果没有力作用在物体上，它就处于平衡状态，所以
任何小位移的一阶近似都给出了力
这是谐振子的一般形式
5. 量子谐振子
量子力学中一个至关重要的东西。例如，在量子场论中，几乎所有的亚原子粒子都被看作是量子化场的激发。
哈密顿量H是描述系统能量的算符。描述量子谐振子的哈密顿量变成
应用Schrödinger方程
求波函数
我们找到了一整套解，它们是 ψ的特征值:
所以能量是量子化的，总能量必须服从
可以重新定义哈密顿量使计算更简单
6.真空中的能量
I've since learned that practically the whole of what I talk about on slide 6 is wrong, or doesn't really apply to quantum field theory in the way I thought it did. The terms 'quantum fluctuation' or 'quantum foam' mean different things in different contexts, and I was equivocating.（作者油管原话：后来我发现，实际上我在第六张幻灯片上讲的所有内容都是错误的，或者说并不像我想的那样真正适用于量子场论。“量子涨落”或“量子泡沫”在不同的语境中有不同的含义，我是在含糊其辞。）
海森堡测不准原理指出:
这意味着真空中充满了小的能量峰值，我们称之为量子涨落
每一个都是一个量子谐振子基态能量
这就产生了一个问题，因为这似乎意味着在任何给定的时间，真空都充满了能量。
这是物理学中一个未解决的问题，与所谓的宇宙常数有关。
7. 讨厌的无穷大
我们现在类比地应用QHO的理论来形成一个量子场论。
我们用一个自由的(Klein-Gordon)标量场来表示电磁场，并将量子谐振子的哈密顿量写成
这是发散的。其一，零点处的δ函数；其二，对无限动量进行积分。
第一，处理δ函数：除以体积用真空能量密度代替，得到这个场论的基态
第二，通过调整我们对这个场论在任意高动量下的有效性的期望来处理，给出新的哈密顿量
通过只考虑一个空间维度和一个时间维度来简化
这仍是发散的，但由于我们不能直接测量ε0，可以令ε0=0，使H|0>=0
除非我们扰乱真空，然后我们可以测量真空波动本身的能量差异，这就是Casimir效应
8.Casimir力
L×L的盒子，带有长为L的盘
在较小的腔中，真空电磁波模式为分立值（视频中标的波长有错，应是λn=2d/n）
当L趋于无穷，大腔中有着多得多的电磁波模式
板两侧能量密度的差异来自于模数的差异。这就产生了一种吸引力。
电场在金属板处切向分量为0，这个边界条件迫使量子涨落具有离散的波长，每个腔的总能量的期望值变成了求和
小腔内的力为
假设频率是d和L的函数
令L>>d，出现了，自然数之和！
黎曼ζ函数的解析延拓，ζ（-1）=-1/12，如果我们不假思索地应用它，那么我们确实得到了我们寻找的Casimir力
9.总结
一切都是谐振子，包括量子涨落
量子尺度上的振荡有最低的频率(能量)
卡西米尔力产生于小空间中能量密度的差异
量子场论是迄今为止最好的宇宙模型之一
