模型概述：该模型捕获了粒子碰撞期间发生的各种体破损机制。具体来说，它描述了脆性材料详细断裂机制的适应性，并说明了断裂概率的可变性和尺寸依赖性，以及通过反复施加应力而减弱，并给出了材料的最终尺寸分布。失效机制的性质取决于材料特性以及单个颗粒周围和内部应力场的性质。具体而言，该模型由描述粒子失效临界条件的数学表达式组成，一旦在DEM模拟过程中满足该临界条件，粒子将立即被一系列较小尺寸的球体所取代。此外，还实施了一种创新方法，用于处理颗粒替换，消除潜在的质量损失。

该模型可作为以下各项之间的交互：粒子到粒子；粒子到几何体；粒子体力，需要通过EDEM的界面导入自己的工厂粒子

体破碎

计算循环

在粉碎过程中，特定材料的颗粒受到的冲击幅度低于破碎所需的水平。然而，冲击的重复性可能导致能量足以对颗粒造成内部裂纹状损伤，导致其弱化，使其更容易在未来的应力事件中断裂。因此，能量小于原始颗粒断裂能量的后续冲击可能导致断裂。这种效应称为粒子损伤累积（Tavares 2002和Tavares 2009）。

使用相关参数设置材料后，EDEM检测冲击并计算每个冲击事件吸收的能量。记录的冲击能量根据其刚度准确分配给碰撞中涉及的每个元素，并与粒子存储的断裂能量进行比较。如果第一个粒子比后一个小，那么粒子将不会破裂，相反，它将受到损伤，随后会对粒子产生新的断裂能，这将低于前一个粒子。

图1显示了粒子在撞击过程中所经历的循环。蓝色路径是指粒子的破坏和减弱，而红色路径是指身体的破损以及随后由其碎片替换初始粒子（母粒子）。

此外，作为一个临界条件基于能量的模型，与基于力或应力的模型相比，在模拟过程中，它对恢复系数或刚度值的选择不太敏感。应力能由法向和剪切能的组合给出，由下式给出：

式中，En、Et分别是法向能量和剪切能量，ct是剪切能量的一部分，它对碰撞能量有贡献，并且可能随碰撞角度而变化。

虽然破损概率和弱化最初是以连续分布的形式发展的，基于颗粒，但它们直接适用于描述DEM中离散颗粒的数量。

颗粒替换模型（PRM）

模型中采用的粒子替换方法使用了里约热内卢联邦大学先前的研究成果，还包括与里约热内罗联邦大学和爱丁堡大学密切合作在内部开发的创新方法。

颗粒破碎并被碎片替换的主要条件要求比冲击能高于颗粒的比断裂能。与断裂概率不同，将连续断裂分布模型修改为离散模型是一项非常具有挑战性的任务，因为原始断裂模型是根据碎片分布的平均信息以及颗粒断裂能量的中值开发的。

碎片的破碎程度由单个参数t10表示，该参数反映了小于母粒径1/10的碎片比例（Napier Munn 1996，Tavares 2008）。有关这方面的详细信息，也可以在Tavares和das Neves（2008）、Saeidi等人（2016）中找到。图2显示了母粒子被其碎片替换。

为了与实际破碎事件的结果相似，在实际破碎事件中，细颗粒集中在靠近应力作用点的位置，母颗粒内部的球体被布置成最大碎片在垂直于导致破碎的应力方向上重叠。然后，剩余的较细碎片排列在剩余的空隙中，通常也与较粗的碎片重叠，如图2所示。

在更换过程中，碎片最初可以重叠，以适合原始母粒子体积。碎片之间的这种重叠可能会导致它们之间产生巨大的人为排斥力。为了控制碎片之间的潜在爆炸，本文采用了一种复杂的方法，其中使用阻尼规则来限制施加在每个碎片上的总接触力（整体阻尼强度），以及施加减小力的持续时间（整体阻尼时间）。此外，根据Griffith的理论（Sun和Jin，2012年），该模型还控制了碎片之间人工重叠的减少，以解释内部压裂过程中的能量耗散。

因此，可以定义该重叠的一部分（局部阻尼强度），以便将部分断裂能量释放回碎片。这种方法使用了先进的接触力学原理，使用户可以自由控制碎片的运动学，并防止碎片出现极高的速度，这会使模拟变得不现实。如果任何全局参数为零，则该阻尼步骤不会应用于碎片。图3示意性地描述了在接触（局部）和粒子（全局）水平上阻尼的应用。

参数说明

每个粒子都有一个特定的断裂能，它是根据其大小、平均值和标准偏差指定的。该能量将根据下式给出的上截断对数正态分布（Tavares 2002）而变化

式中，E是粒子断裂能量分布，对应于它在碰撞中能够承受的最大应力能量，Emax是分布的上截断值，E50，σ分别是分布的中值和标准偏差。颗粒的中值比断裂能由下式给出：

其中E∞, do和φ是必须与实验数据拟合的模型参数，dp是尺寸等级中包含的代表性粒度，kst是钢的刚度（230GPa）。应注意，如果表面是几何体，则其弹性必须接近物理测试所用真实材料的值。如果对粒子弹性进行缩放，则应相应缩放几何体的弹性，以保持两者之间的比例。

φ值在1以下变化，约为2.5。矿物残余颗粒断裂能E∞通常发现其硬度始终低于矿石和岩石，这表明后者的韧性较高。此外，矿物的特征尺寸确实比矿石和岩石等多晶材料的特征尺寸粗得多，这反映了后者的微观结构更精细（Tavares 2007）。

如果粒子没有断裂，它将受到损伤，随后会对粒子产生新的断裂能，低于前一个断裂能。在下一次损伤事件之前，这种新的断裂能将是粒子的固有特性，由以下公式给出：

其中，Ef是粒子的断裂能，D是损伤，eEk是碰撞中涉及的特定应力能（或有效冲击能），γ是损伤累积系数，它表征了材料在灾难性断裂之前承受损伤的适应性。最后，e是碰撞所涉及的能量比例，并根据其刚度分配给粒子。这是由

其中kp是颗粒刚度，ks是与颗粒接触的表面刚度。如果碰撞涉及同一材料的两个粒子，方程（7）给出e=0.5，因为能量将在它们之间平均分配。

表1总结了模型的所有输入参数。Emin是最小冲击能量。据认为，低于该水平的所有碰撞事件对粒子的影响可以忽略不计，因此可以丢弃。建议默认值为1e-4。

碎片的破碎程度可用单个参数t10表示，t10表示小于母粒径1/10的碎片比例（Napier Munn等人，1996；Tavares，2007）。Tavares，2009提出，当对一批颗粒施加应力时，断裂程度与颗粒的比应力能和中值断裂能有关，使用以下表达式

其中A和b是拟合到实验数据的冲击参数，其中A对应于在单个冲击事件中破坏材料时可以达到的t10的最大值。与颗粒的比断裂能相比，比冲击能Ek越高，t10值越高，子体尺寸分布越细。通过使用经历破碎的颗粒的中值比断裂能，方程式（8）能够解释破碎中的颗粒尺寸效应（Tavares 2009）。

为了准确模拟DEM中球形粒子的破碎，需要定义子粒子的大小分布，其中父粒子将被替换。为了解决这一问题，Tavares和Chagas（2020）最近提出了子碎片的标准族，这些子碎片是在汇编40种材料的断裂数据的基础上获得的，并结合使用蒙特卡罗模拟绘制粒子断裂时每个子碎片的程序。因此，针对不同的t10离散值，提出了子体尺寸分布族。上述族的制备使得每次母粒子被其碎片（不超过1%）替换时，质量损失或增益都被消除。

为了消除质量损失并提供准确的尺寸分布，同时保持模拟效率，我们创建了一个称为虚拟粒子的尺寸类别，该类别描述的碎片小于母尺寸的1/5。该虚拟尺寸等级中包含的颗粒不允许破损。除此之外，由于这些颗粒代表最小的颗粒，它们也可以被视为比其余尺寸等级中包含的颗粒更易变形，因此可以对其使用较低的刚度值。这是通过EDEM GUI完成的，方法是创建一种新材料，并将其粒子命名为“dummy_particle”，对于这种特定的尺寸类别，其弹性较低。这在受限系统中尤其有益，因为此类颗粒不会轻易导致系统中的应力升高。

参考：EDEM2022帮助文档

图源：EDEM2022帮助文档