在数学竞赛里，有很多我们偶尔提到但从不系统学习的知识，比如Stirling公式、Dirichlet特征、Minkowski定理等等。它们大多是和大学数学沾边的知识，或者较为偏门冷门的知识。有些人觉得：学习这些东西完全是无用功；不过我认为在竞赛学习中，拓宽眼界、增长素养、积累方法是极为重要的。

正好是在今年上半年的国家集训队测试中，测试三的压轴题考了一道分析学题目，其背景就是高斯-卢卡斯(Gauss-Lucas)定理（以下简记G-L定理），我来分享一下这个定理。

注意：本文部分习题难度较大，读者可以根据需要选择性阅读

高斯-卢卡斯(Gauss-Lucas)定理 对任意的复系数多项式及其导数，的根在复平面上的凸包包含的根在复平面上的凸包

（这里给一下凸包的定义：首先，如果集合中任两点的连线上的点都在集合内，则称该集合为凸集。对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S（覆盖X的最小凸集）被称为X的凸包。）

注意：这个地方多项式的根都是离散点集，我们可以把这些点用边两两相连，构成的最大封闭凸多边形就是这些根的凸包。概念理解起来比较抽象，不懂的可以多看几遍。

点集的凸包

证明我选用【美】Saff.E.B的《Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science》的习题，整个过程分为五步，循序渐进、条理清晰。

Problem.复系数多项式有重根（）求证：

（1）

（2）若均属于上半平面，则的根也属于上半平面

（3）在（2）的条件下，的根也属于上半平面

（4）把（3）中的情形：“根均属于实轴的某一侧”推广至任意直线的一侧

（5）的根均在的根的凸包内

Solution.

关键是第二步

我们来几个例题练练手

eg1、对正整数，求证：多项式的根的模长不超过1（自编）

这个题我们可以采用三种想法不同的做法，即便不会G-L定理，也能作为一道简单的联赛P1。

考虑虚部

考虑三角不等式

考虑G-L定理

eg2、求所有的正整数，使得对任意满足的互异复数，它们在复平面上对应点构成正三角形的顶点（2019罗马尼亚数学奥林匹克十年级P3）

原解答没有用G-L定理，但是同样精彩，有兴趣可以看看

eg3、（1）求证：在复平面上，方程全体复根的凸包面积大于

（2)为个奇数，证明：对总和为1的复数以及模长不小于1的复数，方程至少有一个模长不超过的复根（2022中国国家集训队测试三P6）

第一题水，会G-L定理随便放就行

运用G-L的一步。倒数方程、导数去零还算基本

只能说不愧是TST

能阅读到这儿的你已经是大佬啦！希望这篇文章对你有帮助！

最后祝各位国庆快乐！