欧拉公式的证明(2)

欧拉公式原始的证明是来自欧拉先生用

sinx和cosx的级数展开对比e∧(ix)的级数展开得到的,但是里面却有一部不是很严谨,但随后我们会说明这是行得通的。

原始的证明

而不严谨的那一步就是交换了求和的顺序

注意到无穷求和的顺序已经交换了

于此,我们可以立即构造一个反例说明这样的交换不总是可行的

一个简单反例,说明随意交换求和顺序这样的操作很有可能出问题

在这个反例中其实我们可以证明交换后那个级数收敛,不过好戏还在后面。

现在介绍绝对收敛的概念。

绝对收敛是指一个无穷级数每一项的绝对值加起来也收敛。

不绝对收敛的例子有很对比如上述例子就是。

Riemann先生的重排定理告诉我们,只要一个级数不绝对收敛,那么存在这个级数的一个重新排列,使得该级数部分和上下界收敛于任意值,甚至发散。

Riemann的重排定理

这个定理虽然看起来反常识,但证明却出奇的自然,有兴趣的读者可以找到Rudin的数学分析原理去一探究竟。

话说回来,我们其实可以验证欧拉先生这种操作是合法的,因为sinx和cosx的绝对值是显然有界的。

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