温馨提示：本专栏内容主要以西北工业大学出版社.《航天飞行动力学》为主，只是用以帮助简单地了解、梳理飞行力学的相关知识。本节重点整理可直接跳转至文章末尾。内容会涉及一些本人在学习过程中的思考与观点，由于水平有限，难免存在疏漏错误之处，敬请批评指正。未经允许禁止转载。

        我仔细想了想，如果不先介绍一下坐标系的定义，飞行器的力学环境介绍会有一定的麻烦，因此稍微改下顺序，本节的知识体系框架如下所示：

坐标系定义与变换知识框架

1.1.1坐标系定义：

        在研究大气层内有翼飞行器的飞行动力学特性时，为了简便、直观地表现出描述不同物理量的特点时，我们常常需要定义一些不同的坐标系。对于飞行高度较低、航程较短的飞行器，一般会使用以下四个坐标系：

• 地面坐标系：地面坐标系与地球固联，当飞行距离较小时，可以近似忽略地球曲率与旋转的影响，认为地面系是一种惯性坐标系。地面系的轴垂直地表、向上为正；其余坐标轴没有准确的统一定义，一般依据具体问题而定：轴以指向目标方向为正；满足右手定则；原点一般选在初始时刻飞行器质心在地表的投影。

• 弹体坐标系：弹体坐标系一般用以研究飞行器受力矩情况与转动动力学特性。原点选在飞行器质心；沿弹体纵轴向前为正；在纵对称面内垂直弹体纵轴、向上为正(此处的上是指飞行器的上表面)；依据右手定则确定。

• 弹道坐标系：弹道坐标系一般用以研究飞行器的质心动力学特性。原点选在飞行器质心；与速度矢量方向重合；在包含速度矢量的铅锤面内、垂直速度矢量方向、向上为正(此处的上指天)；依据右手定则确定。

• 速度坐标系：弹道坐标系一般用以研究飞行器的气动力特性。原点选在飞行器质心；与速度矢量方向重合；在纵对称面内垂直速度矢量方向、向上为正(此处的上是指飞行器的上表面)；依据右手定则确定。

        如果在此暂时还不能形象地想象出各个坐标系的定义与形状，您可以在后面的介绍中观察不同坐标系之间的变换关系帮助思考。

1.1.2坐标系变换的欧拉角与变换关系

        在介绍坐标系变换的数学关系之前，整理清楚各个坐标系之间的关系有助于理解坐标系变换的物理学本质。想象你是一个站在地上不动的人，当你想描述一架正在打开弹舱、向你展示导弹的歼20时，你可能会采用飞机机鼻的朝向、抬头的角度以及侧倾的幅度来表示它；而现在如果你被要求驾驶这架歼20实现相同的动作，从跑道起飞后，你也许会回想刚刚这架歼20，转弯多少了度、抬头多少了度再侧倾多少了度，模仿它来实现这一目的。

        在不同的坐标系之间，坐标轴与坐标平面可能存在一些典型的角度关系，通过一次或者多次绕着某个特定的坐标轴旋转特定的欧拉角，就可以将现在的坐标方位转到另一坐标方位下。

        以刚刚的例子为例，飞机起飞后先绕着地垂线上转过一定的偏航角，之后在相对于水平面抬头一定的俯仰角，在现在的方位侧倾一定的滚转角，就可以复现刚刚的姿态。即：

地面系→弹体系：

• 地面坐标系绕轴旋转偏航角；

• 在第一次的过渡坐标系下绕轴旋转俯仰角；

• 在第二次的过渡坐标系下旋转滚转角；

    即可将坐标轴的指向由地面系定义转至弹体系定义；由此我们也可以给出三个姿态角的数学定义：

• 飞行器纵轴投影与轴的夹角为偏航角；

• 飞行器纵轴与平面(地面)的夹角为俯仰角；

• 飞行器主对称面内法向与纵轴所在铅锤面法向的夹角为滚转角，滚转角一般在过渡坐标系或通过数学关系描述较为合适；

    欧拉角的定义与旋转关系可由下图直观表示：

以下直接给出各个坐标系之间的欧拉角与变换顺序：

1. 地面系→弹道系欧拉角定义：      速度矢量在水平面的投影与轴的夹角为弹道偏角；           速度矢量与平面(地面)的夹角与为弹道倾角；变换关系：       地面坐标系绕轴旋转弹道偏角；      在第一次的过渡坐标系下绕轴旋转弹道倾角；

2. 弹道系→速度系欧拉角定义：      弹道系轴与速度系夹角为速度滚转角；变换关系：       弹道坐标系绕轴旋转速度滚转角；

3. 速度系→弹体系欧拉角定义：      速度矢量与纵对称面的夹角为侧滑角；       速度矢量在纵对称面的投影与纵对称面的夹角与为攻角；变换关系：       速度坐标系绕轴旋转侧滑角；      在第一次的过渡坐标系下绕轴旋转攻角；

        一般来说，我们将俯仰角、偏航角、滚转角称为姿态角；

                                     弹道倾角、弹道偏角、速度滚转角称为速度角；

                                     攻角、侧滑角称为气动角。

        但需要注意的是，这里的攻角与侧滑角并不一定是真实的气动角。在速度系与弹体系的变换之中，速度的“定义”需要格外注意。若此处的速度为相对于地面的速度，攻角和侧滑角只是一个表征速度方向和弹体纵轴空间位置的欧拉角，并不能反映飞行器实际的气动状态；若此处的速度为相对于空气的速度，攻角和侧滑角是真实的气动角，但这样就不能将该气动角直接代入一些质心动力学方程组中。这一问题我们将在后续的介绍中详细讨论。

1.1.3基元变换矩阵

        在介绍坐标系变换矩阵之前，我们应先介绍变换矩阵。变换矩阵的物理意义是：同一物理量在新坐标系下的坐标向量与原坐标系下的坐标向量之间的关系。例如，对于特定的位置矢量，在B坐标系下的坐标向量为，在A坐标系下的坐标向量为，则两坐标向量之间满足数学关系为：

其中为A坐标系向B坐标系变换时的变换矩阵，有时也会写为。

       在这里不能与另一概念混淆：变换矩阵表征的是物理量坐标向量的关系，并不是向量的旋转关系。例如：你现在想用MATLAB绘制出坐标系A与坐标系B的x轴向量，已知在A坐标系下x轴向量为以及坐标系A到坐标系B的变换矩阵，但并不是旋转后得到的B坐标系x轴向量，而是在B坐标系下观察时，A坐标系的x轴会指向什么地方。

问：此时如果要画出旋转后的B坐标系x轴，该怎么得到向量坐标？

       绕着某一坐标轴进行单次旋转称为基元旋转，其对应的变换矩阵即为基元变换矩阵。以下绕x轴、y轴、z轴的基元旋转矩阵：

基元变换矩阵

            基元变换矩阵中角度的正方向均满足右手定则。其满足的规律是：

• 旋转轴所在对角元素为1；

• 以该对角元素展开的余子式为；

• 对角元素上一行的sin带负号(可认为第一行的上一行是第三行)；

• 其余元素为0。 由于基元旋转矩阵是正交矩阵，因此有如下关系：

1.1.4坐标变换矩阵

        从坐标变换过程我们可以知道，从某一坐标系到另一坐标系的过程可以看作一次或多次绕坐标系进行基元旋转，因此，坐标变换矩阵可以看作多个基元矩阵的乘积。

        以地面系到弹体系为例：

        相对地，从弹体系到地面系的变换矩阵可以看作是上述矩阵的逆矩阵，即：

坐标变换矩阵与基元旋转矩阵之间的规律为：先转在后，后转在前，逐步左乘，反转为逆。

注意：

        书上所写道的矩阵的递推性是错误的，按照左乘原则，正确的递推公式为。课本的定理不能全盘接受，公式最好能自己推导一遍。

        在坐标转换中，即使绕着每个轴的旋转角度相同，但旋转次序不同，结果也可能不同；尽管绕着每个轴的旋转角度不同，但按照不同的旋转次序，也可以得到相同的变换结果。

不同旋转次序下坐标系变换结果

       上图反映出了均是绕x轴旋转15°；绕y轴旋转60°；绕z轴旋转30°的坐标系变换结果。左图为2-3-1变换法(逐次绕y-z-x)；右图为3-2-1变换法(逐次绕z-y-x)。可以发现其结果存在较大差异。

问：在实际应用时，描述如战术导弹等有翼飞行器时往往采用2-3-1的变换次序，描述运载火箭时往往采用3-2-1的变换次序，为什么？

        您可以先思考一下，在后续的介绍中会提及这一问题。

1.1.5拓展知识：方向余弦矩阵与四元数

方向余弦矩阵

        对于有公共原点的两坐标系b与I，设在相同坐标系下求得的两坐标系的坐标轴单位向量分别为和，则定义方向余弦矩阵为：

方向余弦矩阵为坐标系b到坐标系I的变换矩阵，满足

与基于欧拉角基元旋转实现的变换矩阵相同，方向余弦矩阵也是一种正交矩阵，满足矩阵的逆与矩阵的转置相同，即：

        方向余弦矩阵便于直接求解微分形式，因而在进行导航解算过程中应用较多。

四元数法

        四元数是基于超复数，通过四元数来表示向量在空间中的位置，通过四元数的运算来表示刚体在空间中的旋转关系。由于四元数较为复杂抽象，受限于篇幅问题，可以在后续的介绍中再继续讨论(其实是因为我自己也还没学会)。在姿态描述中，利用四元数的好处是：可以避免欧拉角反解算的奇异性，计算过程中没有三角函数、较为简单；使用四元数的缺点主要在于其输出不够直观，不能直接表现出姿态相对于空间的物理学关系，因此在实际应用时，使用四元数计算依然要输出为有直观印象的欧拉角。

总结

坐标系定义：

坐标系定义总结

基元旋转矩阵：

基元旋转矩阵

• 旋转轴对角为1；

• 对角余子式；

• 对角上一行sin带负；

• 其余为0。

坐标系变换关系：

坐标系变换关系总结

下一节：1.2有翼飞行器飞行力学·力学环境