在拓扑学和数理逻辑中都出现了所谓的“紧致性”这种特性，这篇文章将讨论它们有着怎样的共性、如何通俗地去理解它们以及紧致性有何作用。

【紧致性的例子】

首先，我们看一下紧致性在拓扑学和数理逻辑中都是什么意思：

1. 【拓扑学】对一个拓扑空间X，如果其任何一个开覆盖S，都存在一个有限子覆盖S’，则称拓扑空间X具有紧致性。

2. 【数理逻辑】一个公式集Γ⊨φ，则Γ必存在一个有限的子集Γ’使得Γ’⊨φ（紧致性定理）

这里我们需要先来解释一下上面两条：

1. 举个例子：实数集R就是一个拓扑空间，所谓R的开覆盖S就是指S（首先S是一个集合的集合，并且S的元素都是开区间）的所有元素的并集是包含R的，比如S={(-∞,1) , (-1, +∞)}。那么S的两个元素的并集(-∞,1)∪(-1, +∞)= (-∞, +∞)是包含R的，并且(-∞,1)和(-1, +∞)都是开区间，这时就说S是R的一个开覆盖。

而如果S的某个只包含有限个元素的子集S’也是R的一个开覆盖，那么这种S’就叫有限子覆盖。

2. 举个例子：比如公式集（可以理解为一些已知条件）为{a>3 , b>a}，那么因为“a>3”和“b>a”蕴含了“b>3”这层意思，就记为{a>3 , b>a}⊨b>3。紧致性定理的意思就是在说，如果某些已知公式能够蕴含“某种意思”，那么肯定存在这些已知公式的有限子集同样能够蕴含“这种意思”。

【给紧致性一个定义】

从上面的描述可以看出，所谓“紧致性”其实是关于一种“能力”，在拓扑学中，这种能力指的是“只用开区间覆盖某个拓扑空间”的能力，而在数理逻辑中，这种能力指的是“蕴含某种意思”的能力。

再具体点来说，所谓“紧致性”其实是指：如果一个集合具有某种“能力”，那么它的某个有限子集也具有这种“能力”。

用更规范的数学用语来说就是：

某种性质p，如果有以下性质：

对任意集合R，只要R具有某种性质p，就存在R的一个有限子集Q同样具有性质p。

则称性质p具有紧致性。

在拓扑学中，这种性质p就是开覆盖一个拓扑空间；而在数理逻辑中，这种性质p就是语义蕴含一个公式。

然而，上述定义还有一些欠缺，性质p和“能力”之间并不能画上等号。这种“能力”还具有一种特性：如果某个集合具有了这种“能力”，那么所有包含这个集合的集合都不可能再“丧失”这种“能力”。反过来说，如果一个集合R不具备这种“能力”，那么R的任何子集Q也都不可能具备这种“能力”。

换言之，这种“能力”只可能随着集合的元素增加而从无到有，绝不会从有到无。（也就是说不会有一些元素会充当“画蛇添足”的“猪队友”）

到此，我们可以给“紧致性”下一个更准确的定义：

某种性质p，如果有以下性质：

1. 如果集合R具有性质p，则对任何集合Q⊇R，都有Q也具有性质p

（也就是性质p只会随着集合的元素增加从无到有，而不会从有到无）

2. 对任意集合R，只要R具有性质p，则必有R的一个有限子集Q具有性质p

则称性质p具有紧致性。

（也就是如果一个集合具有某种性质，那么它的某个有限子集也具有这种性质）

【紧致性的通俗理解】

事实上，这里可以把集合看成具有某种“工具性”，而把性质p看成某种“目的”。那么，如果这种“目的”具有紧致性，那也就是说：只要找到了一组工具（可以是无限多个）能达到这个目的，就必定可以从里面挑选出有限多件工具来同样达到这个目的。

通俗地说，具有紧致性的目的，不可能需要无限多的工具才能达到。

或者说，具有紧致性的目的，只要能达到，必定可以只用有限多的工具。

所以，所谓“紧致性”其实指的就是一种所必需的工具在数量上的“有限性”。

比如，现在让你造一台机器，你发现机器上需要用到各种尺寸的螺丝，比如直径1mm的、2mm的、……100mm的、……10000mm的……，你需要有无限多种螺丝才能制造出这台机器。这时你会觉得这台机器的设计师脑子有坑，因为这台机器大概率“不够精致”。这种“不够精致”也就是不具备“紧致性”。

【什么具有紧致性】

现在，让我们回到最开始的拓扑学和数理逻辑中所说的“紧致性”。可以发现，在拓扑学中，只是把“只用开区间覆盖拓扑空间R”这种性质的紧致性，称作是拓扑空间R的紧致性。而在数理逻辑中，可以把“蕴含公式φ”这种性质的紧致性，称作是公式φ的紧致性。

那么，接下来的问题就是：

1. 什么样的拓扑空间R具有紧致性

2. 什么样的公式φ具有紧致性

前人数学家早已有所解答：

【海涅-博雷尔定理】：如果拓扑空间R有界且闭合，就具有紧致性

【哥德尔紧致性定理】：一阶逻辑语言中的所有公式φ都具有紧致性

其实，数理逻辑里并未直接说“公式φ具有紧致性”，因为一阶逻辑语言中的所有公式都具有这种“紧致性”，所以就把这叫做了紧致性定理。（就好比所有的人都有头，就不会再去说“有头的人”，而是把“只要是人就有头”作为一条定理）

【紧致性的作用】

可以说，继微积分之后，紧致性又架起了一座有限和无限之间的桥梁：

比如说，如果我们要证明，一个目的是无法达到的，那我们就要去证明不论用有限的工具还是无限的工具都无法达到这个目的。

而有时候，证明“无限的工具”不能达到某种目的和证明“有限的工具”不能达到某种目的之间的难度差异是很大的。

这时候，如果我们已经知道了这个目的具有紧致性，那么我们就可以只证明“有限的工具”不能达到这种目的。然后根据紧致性的定义，就可以直接得出结论“无限的工具”也不能达到这个目的。

这样，我们就通过只证明“有限的情况”来同样给出“无限的情况”下的结论，这也就是为什么说紧致性架起了一座有限和无限之间的桥梁。