有限元分析【1】是一种数值求解微分方程组的方法。它最初起源于土木工程和航空航天的弹性和结构分析问题，现在被应用于包括材料形变、传热学、流体力学在内的各种工程问题。

【1】有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）有时又被称作有限元方法（Finite Element Method，FEM），二者基本可以混用，微小的区别在于，FEM 侧重于整套理论而 FEA 侧重于应用 FEM 于具体工程问题。

为了快速了解有限元，我们组织了一个有限元讨论班​。我们希望揭去有限元神秘的外衣，只需要几个十几分钟就能替代一学期的本科有限元介绍课程。我们选择了经典的 Jacob Fish 和 Ted Belytschko 的《A First Course in Finite Elements》作为教材。整个讨论班分为三个部分：一维问题的有限元、高维标量场的有限元、高维矢量场的有限元。我们会先讲一部分，然后做一个 “编程挑战”，用简单的 Python 代码确认我们理解的是对的。

有限元的具体操作如下。首先把问题的区域划分为很多子集，比如三角形（四面体）或者四边形（六面体），每个子集被称作 “元素”（element）。之后用一系列局域在这些子集上的函数展开微分方程的解，这个展开肯定是近似，不过我们有理由相信只要我们子集划分足够细密和合理，这个近似就足够好，这些局域在子集上的函数称为 “shape function”。于是一个微分方程就被简化为一个代数方程问题了，未知量是用 shape functions 展开的系数，而且当微分方程是线性的时，我们获得的代数方程也是线性的，或者说我们获得了一个线性方程组。只要解出这个线性方程组，我们就获得了原来微分方程的解的一个近似。

在这个过程中，我们需要先把原方程写为变分法的形式【2】，这在有限元方法中被称为 “弱形式”，而原来的方程就被称作 “强形式”。之后选择一些 shape functions 张成试探解并代入弱形式，你会开心地发现，你获得了一个线性方程组，只要调用一些成熟的解线性方程组的包就可以轻松获得结果。有限元讨论班 1​ 讨论了其中的具体操作，之后有限元讨论班 2​ 回顾了公式的推导，并且做了一个简单的 Python 实现。

【2】注意，只是变分法的形式，其内核仍然是朴素的，所以不了解变分法并不影响理解有限元。

有限元讨论班 1 和有限元讨论班 2 构成了第一部分，一维问题的有限元。有限元讨论班 3​ 和 有限元讨论班 4​ 将第一部分的知识推广到高维，有限元讨论班 5​、有限元讨论班 7​、有限元讨论班 8​ 是对应的编程挑战，它们一起构成了第二部分，高维标量场的有限元。那有限元讨论班 6​ 呢？它和有限元讨论班 9​ 一起属于第三部分，高维矢量场的有限元。由于有限元中涉及的矩阵都是稀疏矩阵，我们还另外讨论了一下 Python 中的稀疏矩阵​。总结一下是

• 第一部分，一维问题的有限元：1（理论）、2（编程）

• 第二部分，高维标量场的有限元：3（理论）、4（理论）、5（编程）、7（编程推导的理论）、8（编程）

• 第三部分，高维矢量场的有限元：6（理论）、9（理论）、在做了（编程）

• 编外：Python 中的七种稀疏矩阵，应该用哪个？

我们这个讨论班是全息的，就是说这个课程的一部分就可以替代整体。比如

• 2 会回顾 1 的内容

• 4 会回顾 3

• 5 会回顾 3 和 4

• 7 很仔细地用 Python 推导了 3 和 4 中的公式（是的 Python 可以推公式）

• 9 会回顾 6

所以时间紧张的同学可以，1、2 择一，3、4 择一，只看 5 跳过 7、8，6、9 择一，便可大致了解有限元。

所有的视频都很短，我们尽力压缩到十几分钟。代码可以在 Github 搜索 FEMdemo 获得。希望我们的讨论班能帮助大家更好地理解有限元。